montrer que les limites n'existent pas (multivariable)

Question

Alors mon professeur me donne ce problème

Montrer que la limite n'existe pas $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {xy^3\cos x}{2x^2+y^6}$$ Donc ce que j'ai fini par faire, c'est approcher $(0,0)$ le long de la $x$-axe $$\lim_{x \to 0} \frac {0}{2x^2} = 0$$ et approche $(0,0)$ le long de la $y$-axe $$\lim_{y \to 0} \frac {0}{y^6} = 0.$$ Puis je m'approche du $(0,0)$ le long de $y = x$ axe $$\lim_{x \to 0} \frac {x^2\cos x}{2+x^4} = 0$$Et donc je pensais que la limite existait, mais mon professeur insiste sur le fait que la limite n'existe pas. Est-ce que j'ai fait quelque chose de mal ?

Je vous remercie.

* désolé j'ai écrit le mauvais problème

Answer 1

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {xy^3\cos x}{2x^2+y^6}$$ Essayer $x=y^3$ $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {y^6\cos y^3}{3y^6}$$ $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {\cos y^3}{3}=\dfrac 13 \ne 0$$ Le long de l'axe, il donne zéro pour que la limite n'existe pas.

Answer 2

En approchant de la $x$-axis (quand $y=0$) nous avons $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2\cos(x)}{2x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos(x)}{2}=\frac{1}{2}$$

et approchant de la $y$-axis (quand $x=0$) donne $$\lim_{y\rightarrow 0}\frac{0}{y^6}=0.$$

Ainsi, la limite n'existe pas.

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Le long de la courbe $y=x^{\frac{1}{3}}$ nous avons $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2\cos(x)}{3x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos(x)}{3}=\frac{1}{3}.$$

Answer 3

Depuis $\cos x \to 1$ nous pouvons considérer $ \frac {xy^3}{2x^2+y^6}$ et égaliser les exposants au dénominateur par $x=u^3$ et $y=u$ on obtient

$$ \frac {xy^3}{2x^2+y^6}= \frac {u^6}{3u^6} \to \frac13$$