Neutralité delta (dérivation)

Question

Je suis confus au sujet des calculs pour le portefeuille delta neutre.

Supposons que nous ayons une position courte sur une option d'achat européenne avec un prix $p(t,S_t)$ et voulez le couvrir avec le stock avec le prix $S_t$. La valeur du portefeuille est$X(t,S_t)=-p(t,S_t)+\Delta\times S_t$. Pour rendre le portefeuille delta neutre, nous exigeons que le portefeuille soit insensible aux changements de$S_t$, ainsi, nous avons $\frac{\partial X}{\partial S}=-\frac{\partial p}{\partial S}+\Delta=0$(en supposant$\Delta$ ne dépend pas de $S$). Mais à partir d'ici, tous les manuels donnent$\Delta=\frac{\partial p}{\partial S}$ qui, en général, viole l'hypothèse selon laquelle $\Delta$ ne dépend pas de $S$.

Pour voir cela plus clairement, le portfolio $Y(t,S_t)=-p(t,S_t)+\underbrace{\frac{\partial p}{\partial S}}_{=\Delta}\times S_t$ n'est pas delta neutre car $\frac{\partial Y}{\partial S}=-\frac{\partial p}{\partial S}+\frac{\partial^2 p}{\partial S^2}S+\frac{\partial p}{\partial S}\neq 0$(sauf s'il est gamma neutre). Quelle est l'erreur? Qu'est-ce que je manque dans la dérivation?

Mise à jour: j'ai pu montrer que si l'on applique le lemme d'Ito au portfolio$Y$, puis $dY_t = -\left(\frac{\partial p}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 p}{\partial S^2}\sigma^2 S_t^2 \right)dt$ qui est indépendant de $dS_t$. Mais maintenant ma question est: d'où vient l'idée de couverture gamma? Encore une fois, une manière rigoureuse d'obtenir le fait que le gamma est nécessaire.

Answer 1

Cette discussion m'a également un peu dérouté, donc j'ajouterai quelque chose qui clarifie peut-être, bien que très probablement ne le sera pas. C'est aussi un rappel que je dois arrêter la programmation et revoir la théorie de la tarification des options.

Le portefeuille de couverture Black Scholes est donné par: $$ \Pi_t = \frac{\partial V}{\partial S}(t,S_t)S_t + \left[1 - \frac{\partial V}{\partial S}(t,S_t)\right]B_t $$ où $B_t$est l'actif sans risque. Différencier par rapport à$S$ comme d'habitude, nous avons que le delta du portefeuille est: $$ \frac{\partial^2 V}{\partial^2 S}(t,S_t) + \frac{\partial V}{\partial S_t}(t,S_t) - \frac{\partial^2 V}{\partial^2S} (t,S_t) = \frac{\partial V}{\partial S}(t,S_t) $$ ce qui signifie que cela combiné (signes opposés) avec une unité de $V$ est un portefeuille localement sans risque.

Il y a très probablement une certaine rigueur qui manque ici en termes de dérivation de fonctions différentiables nulle part comme $S_t$ - toutes les affiches peuvent et doivent se sentir libres de remplir les blancs.