Non-verrouillage de la max-entropie quantique

Question

Le verrouillage et le non-verrouillage sont expliqués dans cet article . Une fonction à valeur réelle d'un état quantique est dite non verrouillable si sa valeur ne change pas trop après la suppression d'un sous-système. La max-entropie d'un état quantique est définie comme

$$H_{\max }(A)_{\rho}= \log \operatorname{tr}(\rho_{A}^{1 / 2})$$

Pour un état quantique bipartite $\rho_{AB}$, Je voudrais savoir si la max-entropy est non verrouillable c'est-à-dire y a-t-il une relation de la forme

$$\text{tr}(\rho_{AB}^{1/2}) \leq \text{tr}(\rho_{A}^{1/2})\cdot|B|$$

qui, après avoir pris des grumes des deux côtés, donnerait

$$H_{\max}(AB)\leq H_{\max}(A) + \log|B|$$

Quelques exemples numériques simples suggèrent que cela pourrait être vrai, mais je n'ai pas été en mesure de le prouver.

Answer 1

Laisser $D_{\alpha}(\rho\|\sigma):= \frac{1}{\alpha - 1} \log \mathrm{Tr}[\rho^\alpha \sigma^{1-\alpha}]$ être la divergence Petz-Rényi pour $\alpha \in (0,1)\cup(1,\infty)$. Notez que pour$\alpha \in (0,1)\cup(1,2]$cette quantité satisfait l' inégalité informatique $$ D_{\alpha}(\rho\|\sigma) \geq D_{\alpha}(\mathcal{E}(\rho) \| \mathcal{E}(\sigma)), $$ où $\mathcal{E}$ est une carte CPTP.

Maintenant, laisse $\rho_{AB}$ être n'importe quel état et prendre $\mathcal{E}$ être la trace partielle sur le $B$système. Puis pour$\alpha = 1/2$ on a $$ \begin{aligned} -2 \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{AB}] &= D_{1/2}(\rho_{AB}\|I_{AB}) \\ &\geq D_{1/2}(\mathrm{Tr}_{B}[\rho_{AB}]\|\mathrm{Tr}_{B}[I_{AB}]) \\ &= D_{1/2}(\rho_{A}\||B|I_{A}) \\ &= -2 \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{A} |B|^{1/2}] \end{aligned} $$

Réorganiser vous obtenez $$ \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{AB}] \leq \log \mathrm{Tr}[\rho^{1/2}_{A}] + \log|B|^{1/2} $$ qui est en fait une inégalité légèrement plus forte avec l'exposant de $|B|$ être seulement $1/2$.