Normal dénombrable compact implique collectionwise normal sans T1?
Dans cette page du blog de topologie de Dan Ma sur les espaces normaux de collection, il prouve ce résultat:
Proposition : Tout espace normal (Hausdorff) et dénombrable compact est normal par collection.
Le blog suppose que les espaces sont Hausdorff (ou T1 ici), mais je suis intéressé de savoir ce qui se passe sans l'hypothèse T1.
Plus précisément, la proposition découle de ce qui suit:
Lemme: Si$X$ est un espace T1, les éléments suivants sont équivalents:
- (UNE) $X$ a une étendue dénombrable;
- (B) Toutes les familles discrètes de sous-ensembles fermés non vides de X sont au plus dénombrables.
Ici l' étendue d'un espace$X$ est le supremum des cardinalités des sous-ensembles discrets fermés de $X$. Une famille discrète de sous-ensembles de$X$ est une famille telle que chaque point de $X$ a une réunion nbhd au plus un ensemble dans la famille.
La preuve du lemme n'est pas difficile (voir ci-dessous pour l'exhaustivité). En fait, (B) implique (A) toujours, même sans l'hypothèse T1.
Question: Est - ce que (A) implique (B) sans l'hypothèse T1?
Je ne peux pas le prouver, mais je ne vois pas non plus de contre-exemple. Si c'était vrai, nous pourrions généralement conclure que chaque espace compact de point limite normal est normal par collection (puisque les espaces compacts limites ont une étendue dénombrable). Pour les espaces T1, ce n'est pas une généralisation car la limite compacte équivaut à compacte dénombrable dans ce cas.
La preuve de (A) implique (B) en supposant T1: Soit$\mathscr{F}$être une famille discrète de sous-ensembles fermés non vides. Pour chaque$F\in\mathscr{F}$ en choisir $x_F\in F$. ensuite$\mathscr{G}=\{\{x_F\}:F\in\mathscr{F}\}$est une famille discrète de sous-ensembles fermés (singletons). Par conséquent$A=\cup\mathscr{G}=\{x_F:F\in\mathscr{F}\}$est fermé et discret. Par conséquent$A$ est tout au plus dénombrable et il en va de même pour $\mathscr{F}$.
La preuve de (B) implique (A) sans hypothèse supplémentaire: Soit$A$ être un sous-ensemble fermé et discret de $X$. Pour toute$x\in A$, le singleton $\{x\}$ est fermé dans $A$ car $A$ est discret, et $A$ est fermé dans $X$, par conséquent $\{x\}$ est fermé dans $X$. Alors la famille$\mathscr{F}=\{\{x\}:x\in A\}$ est une famille discrète de sous-ensembles fermés non vides de $X$. Par conséquent$\mathscr{F}$ est tout au plus dénombrable et est donc $A$.
Réponses
Pour $n\in\Bbb N$ laisser $U_n=\{k\in\Bbb N:k<n\}$, et laissez $Y$ être $\Bbb N$ avec la topologie
$$\{U_n:n\in\Bbb N\}\cup\{\Bbb N\}\,,$$
et laissez $D$être un espace indénombrable avec la topologie discrète. Laisser$X=D\times Y$; clairement
$$\mathscr{F}=\big\{\{x\}\times Y:x\in D\big\}$$
est une famille discrète indénombrable d'ensembles fermés dans $X$. Laisser$A\subseteq X$. Si$|A\cap(\{x\}\times Y)|>1$ pour certains $x\in D$, puis $A$ n'est pas discret, et si $|A\cap(\{x\}\times Y)|=1$ pour certains $x\in D$, puis $A$ n'est pas fermé dans $X$, alors $X$ n'a pas de sous-ensembles discrets fermés non vides.
Brian a déjà montré que le lemme (A) implique que (B) est faux si on ne suppose pas $T_1$.
Voici une preuve que le résultat dans le titre original est vrai, en contournant complètement le lemme.
Proposition : (sans supposer$T_1$) Tout espace normal compacte et dénombrable $X$ est une collecte normale.
Preuve: prenez une famille discrète de sous-ensembles fermés de$X$. Depuis$X$est comptablement compacte, la famille doit être finie. C'est le lemme 2 de cette réponse . Maintenant, nous avons un nombre fini de sous-ensembles fermés non vides disjoints par paires, et nous pouvons enfermer chaque ensemble dans la famille dans un ensemble ouvert avec les ensembles ouverts disjoints par paire, par normalité de$X$.