Notation correcte pour les limites de la composition des fonctions

Question

En prenant la limite de la composition des fonctions, quelle est la meilleure façon d'écrire l'étape intermédiaire?

Supposons que nous ayons deux fonctions $f(x)$ et $g(x)$ qui sont continus où $\lim_{x\to a} g(x)=b$ et $\lim_{x \to b} f(x)=c$ et nous essayons d'évaluer $\lim_{x \to a}f(g(x))$, comment écrire l'étape intermédiaire de l'évaluation suivante?

$\lim_{x \to a}f(g(x))=\lim_{x \to b} f(x)=c$

ou

$\lim_{x \to a}f(g(x))=\lim_{g(x) \to b} f(g(x))=c$

Le premier est inconfortable car le $x$ les variables ne font pas référence à la même variable, mais la seconde semble inhabituelle avec $g(x) \to b$ étant écrit sous la limite.

Ou y a-t-il une troisième manière qui est encore meilleure notation?

Answer 1

En général, les deux notations conviennent, je préférerais la suivante

$$\lim_{x \to a}f(g(x))=\lim_{y \to b} f(y)=c$$

puisque $f$ est continue, nous pouvons également utiliser ce qui suit

$$\lim_{x \to a}f(g(x))=f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right)=f(b)=c$$