Notation de sous-ensemble avec plusieurs conditions

Question

Laisser$p$Soit un nombre premier et soit$A = \{k : k\in\Bbb Z^+, 1\le k\le p\}$. Soit \begin{align} B &= \{k \in A : \text{$k$est premier}\}\\ C &= \{k \in A : \text{$k$est composé}\}\\ D &= \{(k, k+2): k \in A\} \end{align}

je veux créer$E$avec la condition : ces paires de nombres dans$B$, où$k$est premier, et$k+2$est composite, et je veux aussi montrer que$E$est un sous-ensemble de$D$.

Par exemple si$p=5$, alors$$A=\{1,2,3,4,5\},\ B=\{2,3,5\},\ C=\{4\},\ D=\{(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(5,7)\}$$Puis$E=\{(2,4)\}$.

Puis-je simplement dire$E \subset D = \{(k,k+2) \in D: k \in B \text{ and } k+2 \in C\}$, ou sinon, comment dois-je formuler ce qui est$E$?

Answer 1

Nous avons donc$$\begin{cases}B_p=\{k:1\le k\le p, k\text{ prime}\}\\C_p=\{k:1\le k\le p, k\text{ composite}\}=\{k:3\le k\le p, k\text{ composite}\}\\D_p=\{(k,k+2):1\le k\le p\}\end{cases}$$Vous voulez sélectionner ces numéros$k\in B_p$tel que$k+2$est composé. Noter que$1\le k\le p\Leftrightarrow 3\le k+2\le p+2$, alors$k+2\in C_{p+2}$.

Alors$(k,k+2)\in B_p\times C_{p+2}$. Mais$B_p\times C_{p+2}$contient de nombreux éléments étrangers qui ne sont pas de la forme$(k,k+2)$. On prend donc l'intersection avec$D_p$pour supprimer toutes les paires qui ne sont pas de la forme$(k,k+2)$. Ainsi, votre ensemble requis est$$E_p=B_p\times C_{p+2}\cap D_p$$De là, il ressort que$E\subseteq D_p$. Notez également que$(1,3)\in D_p\forall p$mais$(1,3)\notin E_p$Et ainsi$E\subset D_p$.