Notation pour l'extension d'anneau

Question

Si $K$ est une extension de champ d'un champ $F$ (C'est, $F\subseteq K$), nous écrivons $K/F$. Mais si$R$est une extension d' anneau de l'anneau$S$ (C'est, $S\subseteq R$), quelle est la notation équivalente? Écrivons-nous$R/S$ comme nous le ferions pour les champs ou est quelque chose comme $R\supseteq S$ plus approprié?

Answer 1

Je ne connais aucune définition généralement acceptée d'une "extension d'anneau" sans autre qualificatif. Quand on va au-delà du cas des champs c'est beaucoup moins clair qu'une "injection$S \to R$"est la notion correcte d '" extension d'anneau. "D'une part, vous voudrez peut-être discuter d'une carte arbitraire $f : S \to R$, pas nécessairement injectif; de manière équivalente, vous voudrez peut-être$R$ être arbitraire $S$-algèbre. C'est la chose la plus générale que vous puissiez demander et elle possède de belles propriétés catégoriques. D'un autre côté, vous voudrez peut-être exiger diverses propriétés de la carte$f$: par exemple, que c'est

• intégrale (qui généralise les extensions algébriques)
• plat (automatique si$S$ est un champ)
• fidèlement plat (diverses belles propriétés)
• etale (également de très belles propriétés mais très restrictives)

et beaucoup d'autres possibilités. Je ne suis pas non plus au courant de la notation pour aucun de ces derniers. Les gens disent simplement "laissez$f : S \to R$ be (peu importe). "(De plus, il serait standard d'écrire $f : R \to S$ ici.)