ODE de 2e ordre avec solutions non bornées

Question

Je dois trouver (si possible) $f$ tel que $$y''(t)+y(t)=f(t)$$ n'a que des solutions non limitées dans $\Bbb R$.

Je viens de noter que s'ils doivent être non bornés, aucun d'entre eux ne peut être constant et je ne sais pas quoi faire d'autre. Des indices?

Answer 1

Puisque les solutions homogènes de vos équations sont de la forme $t\mapsto \alpha\cos(t)+\beta\sin(t)$, avec $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, et donc borné, il suffit de trouver un $f$telle qu'une solution particulière de votre équation est illimitée. Prendre$f(t)=e^t$, ce qui conduit à la solution particulière $y(t)=\frac{1}{2}e^t$, et vous pouvez conclure.