Opérateur intégré compact?

Question

Je suis tombé sur un opérateur linéaire intéressant. Je ne sais pas s'il est compact:$$ T: L^2([0, 1]) \rightarrow L^2([0, 1]), \quad (Tf)(x) := \int^1_0 (x-y)^2 f(y)~\mathrm{d}y. $$

J'ai essayé d'utiliser l'argument suivant: Let $(f_k)_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ être borné et laisser $(f_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ être une sous-séquence avec une limite faible $f \in L^2([0, 1])$. Ensuite:$$ \lVert Tf_{n_k} - Tf \rVert_{L^2([0, 1])}^2 = \int_0^1 \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 ~\mathrm{d}x \leq \sup_{x \in [0, 1]} \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 $$ Je peux encore prouver que $\sup$ est atteint sur certains $x_{n_k} \in [0, 1]$ mais cela ne m'aide pas à cause de la dépendance à $n_k$. Sinon, j'aurais utilisé une convergence faible à ce stade.

Existe-t-il un moyen plus simple ou est-ce que l'opérateur est même compact?

Answer 1

C'est un opérateur de rang fini et donc compact: $$(Tf)(x)=A\,x^2-B\,x+C,$$ où $A=\int^1_0f(y)\,dy, B=2\int^1_0y\,f(y)\,dy, C=\int^1_0y^2\,f(y)\,dy$, donc l'image d'un ensemble borné est un sous-ensemble borné d'un sous-espace tridimensionnel de $L^2([0, 1])$.

Answer 2

Si $k(x,y)=a(x)b(y)$, où $a$ et $b$ sont des fonctions continues sur $[0,1]$, puis $$ \int_0^1 k(x,y) f(x)\, dx = \left(\int_0^1 a(x) f(x)\, dx\right) b(y) = \langle a,f\rangle b(y). $$ Par conséquent, l'opérateur intégral $T_k$, donné par le noyau intégral $k$, satisfait $T_k(f) = \langle a,f\rangle b$, et, par conséquent, $T_k$est considéré comme un opérateur de premier rang. Si au contraire,$$ k(x,y)=\sum_{i=1}^na_i(x)b_i(y), \tag{1} $$ où $a_i$ et $b_i$ sont à nouveau des fonctions continues sur $[0,1]$, l'opérateur intégral correspondant satisfait $$ T_k(f) = \sum_{i=1}^n \langle a_i,f\rangle b_i, \quad \forall f\in L^2[0,1], $$ donc le rang de $T_k$ est au plus $n$, donc fini.

Si nous supposons ensuite que $k$ est une limite uniforme de fonctions $k_n$ du formulaire (1), il n'est pas difficile de voir que $T_{k_n}\to T_k$, dans la norme de l'opérateur, donc $T_k$ est un opérateur compact car c'est la limite des opérateurs de rang finis.

Le théorème de Stone-Weierstrass peut être facilement invoqué pour montrer que le sous-ensemble de $C([0,1]\times[0,1])$ formé par toutes les fonctions de la forme (1) est dense, donc la conclusion du paragraphe ci-dessus est valable pour tout continu $k$. Cela prouve:

Théorème . Tout opérateur intégral sur$L^2[0,1]$ avec un noyau intégral continu est compact.