Opérateur linéaire intégral de convolution sur $L^2$

Question

Définir un opérateur linéaire sur$L^2[0,1]$par$K(f)(t) = \int_{0}^{t}(t-s)f(s)ds$. Donné$g \in L^2[0,1]$, trouver$f$tel que$f = g + K(f)$.

Je suis vraiment perdu sur la façon de faire cela. j'ai déjà montré que$K$est un opérateur linéaire borné, donc j'ai pensé que je pourrais peut-être utiliser le théorème de représentation de Riesz, mais je ne pense pas que ce soit la bonne direction.

J'apprécierais vraiment un indice sur où aller. Merci!

Answer 1

L'équation intégrale peut être résolue en utilisant la transformée de Laplace. Appliquez la transformée de Laplace aux deux côtés, en utilisant le fait que la transformée de Laplace d'une convolution de deux fonctions est le produit des transformées de Laplace de chaque fonction. Ce faisant, obtenez l'équation$$F(s) = G(s) + \frac{G(s)}{2(s-1)} - \frac{G(s)}{2(s+1)}$$où$F$et$G$sont les transformées de Laplace de$f$et$g$, respectivement. Prenez la transformée de Laplace inverse terme par terme, en utilisant le théorème de convolution pour trouver l'inverse de Laplace des deuxième et dernier termes du côté droit.

Answer 2

C'est la même question que de montrer que$f\mapsto K(f)-f$est un opérateur linéaire surjectif. Car$K$est un opérateur de Hilbert-Schmidt, il est compact et$T(f)=K(f)-f$est donc Fredholm. En fait, c'est Fredholm d'indice zéro, car l'indice de Fredholm ne change pas sous l'addition de compacts. Donc, si nous montrons que le noyau est trivial, alors nous avons montré que l'opérateur est surjectif.

Suppose que$T(f)=0$, ou équivalent,$K(f)=f$. Ensuite, pour presque chaque$t$,$f(t)=\int_0^t (t-s)f(s)\,ds$. Comme l'image d'un opérateur de convolution est continue, nous pouvons choisir un représentant continu pour$f$, et demander l'égalité ponctuelle. Maintenant, à tout moment$t_0$,$\frac{1}{h}[f(t_0+h)-f(t_0)]=\frac{1}{h}\int_{t_0}^{t_0+h}(t-s)f(s)\,ds$, qui est inférieur ou égal à$\|f\|_\infty\cdot h$, et donc la fonction est différentiable. Maintenant, comme nous différencions sous l'intégrale, nous voyons que$f'(t_0)=\int_0^{t_0} f(s)\,ds$, et cela signifie que$f''(t_0)=f(t_0)$, alors$f(t)=c_1\sin(t)+c_2\cos(t)$. Brancher ces rendements immédiatement que$c_1,c_2=0$, donc le noyau est trivial, et l'indice de Fredholm étant nul signifie que l'opérateur$T$est surjectif.