Opérateurs de densité et décomposition spectrale

Question

Il y a deux questions qui m'intéressent, et les deux peuvent être incroyablement idiotes. Je n'ai tout simplement pas pu me convaincre du contraire.

Nous savons qu'un opérateur de densité $\rho_E$ a la forme $\rho_E = \sum_j \rho_j |x_i\rangle\langle x_i|$ où $\text{Tr}(\rho_E) = \sum_j \rho_j = 1$. Depuis$\rho_E$ est également normal, il doit avoir une décomposition spectrale $\rho_E = \sum_i \lambda_i\Pi_i$ où $\Pi_i$ sont des projections dans l'espace propre associées à $\lambda_i$.

Or, est-il vrai que ces deux décompositions sont identiques? Sens$\lambda_i = \rho_i$ et $|x_i\rangle\langle x_i| = \Pi_i$?

Si oui, y a-t-il une bonne explication $|x_i\rangle\langle x_i|$est en fait une projection dans l'espace propre? Cela signifie que, supposons que nous ayons une carte linéaire$M: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ avec, disons, vecteur propre $v = (2,1)^T$. Volonté$(2,1)^T \cdot (2,1) = |v\rangle\langle v|$ être en fait une projection à la valeur eigensapce associée à $v$?

Answer 1

Avec la notation "ket-bra" $|u\rangle\!\langle v|$ nous entendons l'opérateur linéaire $x\mapsto |u\rangle\langle v|x\rangle$, où $\langle v|x\rangle$ est le produit intérieur entre les vecteurs $|x\rangle$ et $|v\rangle$. Dans une notation mathématique plus standard, cela pourrait être noté par$uv^*$, ici $v^*$ est le double de $v$.

À cause de ce, $|v\rangle\!\langle v|$, pour tout vecteur unitaire $|v\rangle$ (ce qui est généralement le cas lorsque l'on utilise la notation ket), est un projecteur trace-1, qui projette trivialement sur l'espace unidimensionnel enjambé par $|v\rangle$.