permutation d'ensembles
J'ai une question concernant la permutation des ensembles et c'est:
Problème: laissez l'espace échantillon$X$ être l'ensemble des permutations de $\{1,2,3,4,5\}$, la permutation $\{n_1,n_2,n_3,n_4,n_5\}$ représente l'allocation d'objet où pour $i,j\in \{1,2,3,4,5\}$ nous avons $n_i=j$ si personne $i$ reçoit l'objet par personne $j$. en outre$i\in \{1,2,3,4,5\}$. Si nous définissons les événements:
$$A_i=\{(n_1,n_2,n_3,n_4,n_5)\in X\space |\space n_i=i\}$$
Mes confusions: je ne comprends pas comment lister ces éléments sous l'ensemble défini de caractéristiques d'éléments que cet ensemble a par exemple, dans l'espace échantillon$X$, pouvez $n_1=1, n_2=2,n_3=3,n_4=4, n_5=5?$
Sinon, les valeurs $n_1$, $n_2$, ... peut prendre sont $n_1=2,3,4,5; n_2=1,3,4,5; ...$ etc. Un élément possible de l'espace échantillon est donc $(2,3,4,5,1)\in X?$.
Mais dans l'ensemble $A_i,$ maintenant il y a une nouvelle condition qui est $n_i=i$, cela signifie l'ensemble $A_1=\{(1,1,1,1,1)\}?$. Je suis un peu confus sur la définition de$n_i=i$ dans l'ensemble $A_i,$ et combien d'éléments $A_1, A_2,...,A_5$contient. Quelqu'un peut-il m'aider à expliquer ou à trouver les éléments de l'ensemble$A_i$, ou juste un exemple pour$ A_1$ et $A_2?$ Je l'apprécierais.
Réponses
En utilisant la définition d'une permutation en tant que fonction bijective d'un ensemble à lui-même ( plutôt qu'une définition liée de chaînes de caractères, chaque caractère étant utilisé une fois, etc. ), nous avons cela$A_1$ est l'ensemble des permutations de $\{1,2,3,4,5\}$ tel que $1$ est mappé à $1$.
De manière équivalente, en utilisant la définition des permutations comme des chaînes de caractères à la place, $A_1$ est l'ensemble des permutations de $\{1,2,3,4,5\}$ tel que $1$ est en première position.
Cela comprend, mais sans s'y limiter $12345, 13524, 15243,\dots$ et n'inclut pas des choses comme $23451$ ou $54321$ depuis $1$ n'est pas en première position et n'inclut pas non plus des éléments comme $11111$ ou $67890$ puisque ce ne sont pas des permutations de $\{1,2,3,4,5\}$( le premier ne peut pas être une permutation puisque chaque caractère n'est autorisé à être utilisé qu'une seule fois et le second a échoué car les caractères utilisés ne sont pas du bon jeu de base. De manière équivalente, le premier n'était pas bijectif et le second avait le mauvais codomaine ).
Cela vaut la peine de parler de choses comme $A_1\cap A_2$qui sont ces permutations qui ont simultanément les premier et deuxième termes comme points fixes ... contenant des choses comme$12345, 12543, 12453,\dots$, la première position étant nécessairement un $1$ et la deuxième position étant nécessairement un $2$.
Cela vaut également la peine de regarder $A_1^c$, l'ensemble des permutations telles que $1$n'est pas un point fixe.
Enfin, l'ensemble est d'une importance considérable $A_1^c\cap A_2^c\cap A_3^c\cap A_4^c\cap A_5^c$, l'ensemble des permutations sur $\{1,2,3,4,5\}$de sorte qu'aucun des éléments ne soit des points fixes. Nous appelons une permutation sans points fixes un dérangement .
Quant à les compter, car $|A_1|, |A_1\cap A_2|\dots$approchez directement avec la règle du produit comme d'habitude. Pour les positions dont les valeurs ne sont pas forcées, choisissez l'élément qui apparaît à cette position et notez le nombre d'options que vous aviez précédemment données de telles sélections. Tu as ça$|A_1|=4!$ cette $|A_1\cap A_2|=3!$ etc.
Ces observations couplées à l'inclusion-exclusion vous permettront même alors de calculer le nombre de dérangements, ce que je vous laisse finir par vous-même ou à lire dans l'article lié. Je soupçonne assez fortement que le calcul du nombre de dérangements peut même être une partie ultérieure de la question actuelle sur laquelle vous travaillez ou une question à poser très peu de temps après avoir terminé celle-ci car ils sont si étroitement liés.
Non, remarquez que $i$est défini en dehors de la caractérisation de l'ensemble. Ce qui signifie que$i$est fixe pour chaque ensemble. Donc$$A_1=\{\color{red}{1},2,3,4,5),(\color{red}{1},2,3,5,4),(\color{red}{1},2,4,3,5),\cdots\}.$$
Notez également que le tuple doit être dans $X,$ et $(1,1,1,1,1)$n'est pas une permutation.
Il n'est pas clair si par permutation vous voulez dire que vous devez utiliser chaque élément de$\{1,2,3,4,5\}.$ Si c'est le cas, vous obtiendrez $(5-1)!$ comme le nombre d'éléments dans $A_1$ parce que vous corrigez le premier et ensuite vous avez $4$ choix pour le second, puis $3$choix ...
Si vous autorisez la répétition, alors vous aurez$5$ choix dans chacun des autres $4$ positions, donc vous finirez par avoir $5^4$ éléments dans $A_1.$