Potentiel pour $A\,\nabla V$

Question

Laisser $V:\mathbb R^n\to \mathbb R$ lisse, laissez $A$ matrice réelle inversible de dimension $n\times n$. Considérez le champ vectoriel suivant$F:\mathbb R^n\to\mathbb R^ n$, $$ F(x) \equiv A\,\nabla V(x) \,.$$ Est-il possible de déterminer une condition sur $A$ tel que $F$ a un potentiel, à savoir qu'il existe $U:\mathbb R^n\to \mathbb R$ tel que $$ \nabla U(x) = F(x) \;\;?$$ En particulier, je suis intéressé par le cas $A$ matrice diagonale.

Answer 1

C'est faux, impuissant, même dans le cas diagonal. Voici deux exemples (suite à mes commentaires).

(1) Prendre $V(x,y)=\frac12(x^2+y^2)$ et $A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}$. ensuite$$A\nabla V = \begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -y\\x\end{bmatrix}$$ n'est pas conservateur.

Notez, cependant, que si nous nous en tenons à la matrice de rotation et prenons $V$ être harmonique, alors $A\nabla V$ aura à nouveau curl $0$. Par exemple, avec$V(x,y)=\frac12(x^2-y^2)$, on a $A\nabla V = \begin{bmatrix} y\\x \end{bmatrix} = \nabla(xy)$. Pas un hasard si nous obtenons le conjugué harmonique ici.

(2) Prendre $V(x,y) = xy$ et $A=\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{bmatrix}$. ensuite$$A\nabla V = \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y\\x\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ay\\bx\end{bmatrix}$$ n'est pas conservateur sauf si $a=b$.