Pourquoi l'action du contrôle Z est-elle inchangée par l'échange de qubits de contrôle cible?

Question

Dans le livre "Quantum Computer Science", pour expliquer le code de correction d'erreur, il utilise cette image et dit que "l'action de control-z est inchangée en échangeant les qubits cible et contrôle".

Cela signifie-t-il que l'acte de cZ (qubit ancilla de contrôle et qubit de mot de code cible) est égal à cz (qubit de mot de code de contrôle et qubit d'ancilla cible)? Si tel est le cas, pourquoi?

Dans ma compréhension, | 1> Z | 0> (le premier qubit est le qubit de contrôle) n'est pas égal à Z | 0> | 1> (le deuxième qubit est le qubit de contrôle).

Answer 1

Si nous avons un état arbitraire de deux qubits:

$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$

puis après avoir appliqué $CZ_{1 \rightarrow 2}$ contrôlés dès le premier qubit on obtiendra:

$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

car l'opération de contrôle fonctionne lorsque le qubit de contrôle est $|1\rangle$ et $Z$ gate change le signe de l'amplitude du $|1\rangle$ état, d'où $CZ_{1 \rightarrow 2}$ l'action change le signe de la $|11\rangle$.

Maintenant, l'action de $CZ_{2 \rightarrow 1}$:

$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

La même chose est vraie ici seulement le signe de la $|11\rangle$devrait être modifié pour des raisons similaires. Cela peut être vu également en utilisant des matrices:

$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$