Présentation du sous-groupe

Question

Laisser $G$ être le groupe avec présentation $$G = \langle \sigma_1 ,\sigma _2 , \sigma _3\, |\, \sigma _1^2=\sigma _2^2=\sigma _3^2=(\sigma _1\sigma _2)^p =(\sigma _2\sigma _3)^q =(\sigma _3\sigma _1)^r =1\rangle .$$ Je veux avoir une présentation pour le sous-groupe $H$ généré par les éléments $\tau _1=\sigma _1\sigma _2,\, \tau _2=\sigma _2\sigma _3,\ \tau _3=\sigma _3\sigma _1$.

Suffit-il de conjecturer la présentation $$ H=\langle \tau _1,\tau _2 ,\tau _3\, |\, \tau _1^p=\tau _2^q=\tau _3^r=\tau _1\tau _2\tau _3 =1 \rangle$$ et soutiennent que les relations dans la présentation de $G$ impliquent clairement ceux supposés pour $H$ et que les relations de $H$ impliquent les relations dans la présentation de $G$.

Answer 1

Non, cela ne suffit pas, car il peut y avoir des relations «cachées». Dans votre exemple,$H$ a en effet la présentation donnée, et il est vraisemblablement possible de le montrer "à la main" en utilisant les propriétés du groupe $G$, mais ce n'est pas "clairement" vrai.

Vous pouvez également utiliser la méthode Reidemeister-Schreier. C'est un processus pour trouver une présentation d'un sous-groupe donné d'un groupe, et cela fonctionne bien ici car$H$ a un index fini dans $G$. Il existe deux approches de la méthode: la version combinatoire / algébrique classique telle que couverte dans la section 2.3 du livre Théorie des groupes combinatoires de Magnus, Karrass et Solitar, ou dans la section II.4 du livre du même nom de Lyndon et Schupp, et le version topologique utilisant des revêtements de complexes de présentation (voir ici ). Personnellement, je privilégie la version topologique, car je la vois comme une "visualisation" de la version algébrique.

Le processus peut également être effectué sur un ordinateur (voir ici ), bien que l'ordinateur voudra$p,q,r$ à réparer.