Preuve directe que $\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$

Question

Il est bien connu que $\mathfrak{su}(2)\equiv\mathfrak{su}(2,\mathbb C)$, la véritable algèbre de Lie du skew-hermitien sans trace$2\times 2$ matrices complexes, satisfait $\mathfrak{su}(2)_{\mathbb C}\simeq \mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$. Pour voir cela, il suffit d'observer que toute matrice sans trace$A$ peut être écrit comme $$A = i\left(\frac{A+A^\dagger}{2i}\right) + \left(\frac{A-A^\dagger}{2}\right),$$ où les deux composants sont sans trace et asymétriques, et la décomposition est unique.

Nous savons aussi que $\mathfrak{so}(3)\simeq\mathfrak{su}(2)$, où $\mathfrak{so}(3)$ est la véritable algèbre de Lie du skew-orthogonal sans trace $3\times 3$de vraies matrices. Cela découle de l'observation que les deux algèbres de Lie satisfont les mêmes relations de commutation,$[T_i,T_j]=\epsilon_{ijk}T_k$ (ou plutôt, on peut toujours trouver des bases pour les deux espaces satisfaisant de telles relations).

Cela devrait impliquer que $\mathfrak{so}(3)_{\mathbb C}\simeq\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$(comme mentionné également au passage dans cette réponse ), mais comment montrer que c'est le cas plus directement? Autant que je sache, cette déclaration devrait signifier que, étant donné toute trace$2\times 2$ matrice complexe $A$, il y a une bijection envoi $A$ à deux $3\times 3$de vraies matrices asymétriques orthogonales. Quelle est cette décomposition?

Answer 1

Le moyen le plus direct est le calcul simple d'un isomorphisme d'algèbre de Lie $\phi \colon \mathfrak{sl}_2(\Bbb C)\rightarrow \mathfrak{so}_3(\Bbb C)$. On met en place une matrice$\phi=(a_{ij})$ avec paramètres $a_{ij}\in \Bbb C$, puis réécrit l'identité (en utilisant les crochets Lie $[x,y]_1$ et $[x,y]_2$ pour les deux algèbres données) $$ \phi([e_i,e_j]_1)=[\phi(e_i),\phi(e_j)]_2 $$ par rapport à la base standard de $\mathfrak{sl}_2(\Bbb C)$par des équations polynomiales pour ces variables. Ces équations sont assez faciles à résoudre, car la condition$\det(\phi)\neq 0$ est très fort.

En fin de compte, nous obtenons une solution $\phi$, qui n'ont pas besoin d'être uniques au fait, les deux algèbres de Lie sont donc isomorphes.

Les références:

Isomorphisme de l'algèbre de Lie entre ${\rm sl}(2,{\bf C})$ et ${\bf so}(3,\Bbb C)$

Un isomorphisme explicite entre l'algèbre de Lie orthogonale tridimensionnelle et l'algèbre de Lie linéaire spéciale de dimension $3$