Preuve du critère Abel

Question

Je veux prouver la déclaration suivante:

Laisser être $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ une série convergente et $\left(b_k\right)_{n\in\mathbb{N}}$une séquence monotone et bornée. ensuite$\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ est également convergente.

Je sais qu'il existe déjà quelques questions sur ce problème, mais elles ont surtout des hypothèses supplémentaires (c.-à-d. $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ avec $b_k\geq 0$ pour tous $k$).

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Mon approche:

Nous définissons $A_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k$. Comme$A_n$ est convergent il existe une borne $A$ tel que $|A_n|\leq A$ pour tous $n$. Nous savons que$\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ est convergente et donc la séquence $\left(A_kb_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$est également convergente (produit de deux séquences convergentes). Laisser être$n_1$ et $n_2$ deux indices tels que pour tous $n,m$ avec $n>m>n_1$ ça tiens $|A_nb_n-A_mb_m|<\frac{\epsilon}{2}$ et pour tous $n,m$ avec $n>m>n_2$ ça tiens $|b_n-b_m|<\frac{\epsilon}{2A}$. Maintenant nous définissons$n_0:=\max\{n_1,n_2\}$. Dans cet esprit, nous appliquons le lemme d'Abel (sommation par parties) et il suit pour tous$n>m>n_0$:

$$ |\sum\limits_{k=m+1}^{n} a_kb_k|=|A_nb_n-A_mb_m+\sum\limits_{k=m}^{n-1} A_k(b_k-b_{k+1})|\leq |A_nb_n-A_mb_m|+\sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k(b_k-b_{k+1})| \cdots $$ Si $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ diminue de façon monotone il suit: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_k-b_{k+1})\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_k-b_{k+1})=\frac{\epsilon}{2}+A (b_m-b_n)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$

Si $\left(b_k\right)_{k\in\mathbb{N}}$ augmente de façon monotone il suit: $$ \cdots<\frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} |A_k|(b_{k+1}-b_k)\leq \frac{\epsilon}{2}+ \sum\limits_{k=m}^{n-1} A(b_{k+1}-b_k)=\frac{\epsilon}{2}+A (b_n-b_m)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon A}{2A}=\epsilon. $$ Donc dans les deux cas $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_kb_k$ satisfait au critère de Cauchy et est donc convergent.

Est-ce correct ou existe-t-il une approche plus élégante / plus rapide?

Answer 1

Pour une autre approche, nous pouvons montrer que la suite des sommes partielles converge sans utiliser le critère de Cauchy. Nous avons l'existence des limites$\lim_{n \to \infty}A_n = \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^na_k =A$ et $\lim_{n\to \infty}b_n = b .$

En résumant par parties, nous obtenons

$$S_n =\sum_{k=1}^n a_kb_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^n (A_k - A_{k-1})b_k = a_1b_1+\sum_{k=2}^{n} A_k b_k- \sum_{k=2}^{n} A_{k-1} b_k \\ = \sum_{k=1}^{n} A_k b_k- \sum_{k=1}^{n-1} A_{k} b_{k+1} = A_nb_{n+1} + \sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$$

Les séries $\sum(b_k - b_{k-1}) $ converge depuis $\sum_{k=1}^n (b_k - b_{k+1}) = b_1 - b_{n+1} \to b_1 - b$ comme $n \to \infty$. Puisque$(A_k)$ est une suite bornée et les termes $(b_k- b_{k+1})$ sont tous du même signe, il s'ensuit que $\sum A_k(b_k - b_{k+1})$ est convergente.

Par conséquent, la série $\sum a_kb_k$ converge depuis

$$\sum_{k=1}^\infty a_kb_k = \lim_{n \to \infty}A_nb_{n+1} + \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n} A_k (b_k - b_{k+1}) = Ab + \sum_{k=1}^\infty A_k(b_k - b_{k+1})$$

Answer 2

Il découle du critère de Dirichlet. En effet, supposons$b_k \le b_{k+1}$ et $\lim b_k = b$.

ensuite

\begin{align} \sum_{k=1}^n a_k b_k &= \sum_{k=1}^n a_k b - a_k (b - b_k) \\ &= b\sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n a_k (b - b_k). \end{align}

La première somme converge car il s'agit d'une hypothèse et la convergence de la seconde somme découle du théorème susmentionné.

Mais ce n'est pas une amélioration par rapport à votre argument puisque la preuve habituelle du critère de Dirichlet se fait par sommation par parties.