Preuve pour $\max(A+B) = \max(A) + \max(B)$ correct?

Question

Salut, j'essaye de prouver ce qui suit: Let $A, B \subset \mathbb {Q}$ et $A+B = \{a+b: a\in A, b \in B\}$.

Supposer $\max(A)$ et $\max(B)$ exister, montrer que $\max(A+B)$ existe aussi et que

$$\max(A+B)= \max(A) + \max(B)$$

J'ai la preuve suivante, je ne suis pas sûr qu'elle soit correcte:

Le vrai nombre $\max(A) + \max(B) \geq x$ pour tous $x \in A+B$

Depuis $\max(A) \in A$ et $\max(B) \in B$ la définition de $A+B$ cette $\max(A+B) \in A+B$ tient.

Maintenant, laisse $x \in A+B$. $\Rightarrow$ il existe $a \in A$ et $b \in B$ tel que $x = a+b$

Selon la définition de $\max$ cependant, $\max(A) \geq a$ et $\max(B) \geq b$.

Par conséquent $\max(A) + \max(B) \geq a+b = x$

Cette preuve est-elle correcte?

Answer 1

Votre preuve est correcte, mais un peu redondante. Tu as montré ça$\max(A)+\max(B) \ge x$ pour tous $x \in A+B$, et vous avez expliqué comment $\max(A)+\max(B) \in A+B$. Cela suffit pour montrer ce dont nous avons besoin, car nous avons trouvé une limite supérieure pour$A+B$ qui appartient également à $A+B$, donc c'est le maximum.