Primitive de peu o

Question

Cette question a déjà été posée mais aucune des réponses que j'ai trouvées n'était correcte / suffisamment approfondie.

Pour $x$ proche de zéro et $n>1$, est la primitive de $o(x^n)$ égal à $o( x^{n+1} )$ et comment le prouver?

Peu $o$ est défini comme:

$f$ est $o( g )$ proche de zéro si et seulement s'il y a une fonction $u$ qui tend à zéro quand $x$ se rapproche de zéro et satisfait $f = u g,$ ou pour tout $\epsilon >0$, il en existe $a>0$ tel que $∣ f(x)∣ \leq \epsilon |g(x)|$ n'importe quand $0< |x| <a$

J'ai utilisé les deux définitions mais je n'ai pu aller nulle part, l'intégration par parties n'a pas non plus aidé, je sais que ce n'est pas vrai pour le dérivé qui: le dérivé de $o(x^n)$ égal à $o( x^{n-1} )$ mais je ne suis pas sûr de l'intégration.

Answer 1

Oui, cela ne pose aucun problème, le point clé est que l'intégration préserve les inégalités (ce qui est très faux pour la différenciation); c'est-à-dire si$f(x) \le g(x)$ puis $\int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx$.

Plus formellement, si $f(x) = o(|x|^n)$, alors par définition nous avons cela pour tout $\epsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que si $0 < |x| < \delta$ puis $|f(x)| < \epsilon |x^n|$. Définir

$$F(x) = \int_0^x f(t) \, dt.$$

Alors pour tout $\epsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que si $0 < |x| < \delta$ puis $|f(x)| < \epsilon (n+1) |x^n|$, donc tel que

$$|F(x)| = \left| \int_0^x f(t) \, dt \right| \le \int_0^x |f(t)| \, dt \le \int_0^x \varepsilon (n+1) |t|^n \, dt = \varepsilon |x|^{n+1}.$$

Alors $F(x) = o(|x|^{n+1})$. Nous n'avons pas vraiment besoin d'insérer le$n+1$ prefactor mais c'est bien de faire en sorte que la borne finale soit exactement ce qu'elle doit être.