Prix ​​de l'option vs volatilité implicite

Question

Je faisais un exercice sur l'étude de la relation entre le prix de l'option d'achat européenne et sa volatilité. On m'a demandé de calculer$\frac{\partial^2C}{\partial \sigma^2}$ et découvrez le domaine de $\sigma$ sur lequel le prix de l'option $C$ est convexe.

J'ai obtenu le dérivé de second ordre comme indiqué: $$ \frac{\partial^2C}{\partial \sigma^2} = Vega \cdot \frac{d_1d_2}{\sigma}, $$ où $d_1, d_2$sont les paramètres de la formule Black Scholes. Pour trouver le domaine requis, je laisse la dérivée du second ordre être non négative, et je soutiens que$Vega$ est toujours non négatif, donc j'ai besoin $d_1$ et $d_2$ avec le même signe.

Je ne sais pas si mon approche est correcte ou non, car j'ai une gamme assez étrange pour $\sigma$: $$ \sigma \le \sqrt{\frac{2(\log S_t/K + r(T-t))}{T-t}}, $$ ou $$ \sigma \le \sqrt{\frac{2(-\log S_t/K - r(T-t))}{T-t}}. $$

Answer 1

Je pense qu'il est intéressant d'examiner ce problème graphiquement également. J'obtiens une réponse différente, selon que l'option est ITM, ATM ou OTM. Dans le graphique ci-dessous, toutes les options ont une expiration d'un an, les taux sont fixés à 0,01 et le spot est de 100. L'appel ITM a la frappe 80, l'appel ATM a la frappe 100 et l'appel OTM a la frappe 150. J'ai ajouté une fonction linéaire ( y = 40 * vol) pour comparaison en couleur jaune. Voici ce que j'obtiens:

Par souci d'exhaustivité, nous pouvons montrer que les options ATM sont concaves pour toutes les valeurs de IV, comme le graphique ci-dessus fait allusion à:

Pour les appels et les mises: $ Vega(t)=S_t N'(d1)\sqrt{\tau} $

Pour les options ATM: $d1=0.5\sigma \sqrt{\tau}$

NTS: $\frac{\partial}{\partial \sigma} Vega(t) < 0 \forall \sigma$:

$$ \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( S_t N'(d1)\sqrt{\tau} \right) = S_t \sqrt{\tau} \frac{\partial}{\partial \sigma} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{0.5(-d1^2)} \right) =\\= S_t \sqrt{\tau} \frac{\partial}{\partial d1} \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{0.5(-d1^2)} \right) \frac{\partial d1}{\partial \sigma}=\\= S_t \sqrt{\tau} (-d1)\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{0.5(-d1^2)} \right)0.5\sqrt{\tau}=\\=-0.25S_t\sigma\tau^{\frac{3}{2}} N'(0.5\sigma \sqrt{\tau}) $$

En raison de l $-0.25$ coefficient ci-dessus, la fonction est négative $\forall$ positif $\sigma$, ce qui prouve le résultat recherché, pour les appels et les put.

Answer 2

Pour ajouter à la réponse de @Jan Stuller, les options ATM sont assez proches de la volatilité linéaire dans le modèle BS (et exactement linéaires dans le modèle normalisé de Bachelier). Les options en dehors de la grève sont positivement convexes en volatilité (notez que OTM vs ITM ne fait aucune différence, juste la distance de la grève). L'exception est que dans BS à des vols log-normaux très élevés, il y a une certaine convexité négative en raison du fait que les prix d'achat sont limités à la hausse par le prix de l'action. Dans les modèles normaux, les options OTM sont une convexité strictement positive en vol implicite.