Probabilité / Combinatoire

Question

La question est:

Une urne contient 6 noirs et un nombre inconnu ($\le6$) de boules blanches. Trois boules sont tirées une par une sans remplacement et toutes se révèlent blanches. Quelle est la probabilité que la prochaine balle tirée soit noire?

Je propose la solution suivante: Nous calculons la probabilité qu'il y ait r boules blanches dans l'urne en utilisant le théorème de Bayes. Donc ce sera:$$ f(r) = \frac{\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}}}{\sum_{r=3}^6\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}} }$$où f (r) désigne la probabilité qu'il y ait r boules blanches. Maintenant, s'il s'agissait de r boules blanches, la probabilité que le prochain tirage soit noir est$g(r) = \frac{6}{6 + (r-3)} = \frac{6}{3+r}$, car 3 boules blanches ont déjà été cueillies. Maintenant, pour obtenir la probabilité totale que la prochaine balle tirée soit noire, peut être donnée par:$$ \sum_{r=3}^6 f(r)\cdot g(r)$$

Cette approche est-elle correcte? La réponse obtenue (j'ai calculé à l'aide d'un script python) correspond en valeur décimale à l'une des options ($\frac{677}{909})$qui est égal à 0,744. Si c'est correct, j'aimerais savoir s'il existe une manière plus élégante / moins calculatrice d'aborder cette question. Merci!

Answer 1

Votre réponse de ${\large{\frac{677}{909}}}$ est correcte, en supposant comme distribution antérieure que $r$ est également susceptible d'être $0,1,2,3,4,5,6$.

Ainsi, si nous supposons, avant de dessiner le $3$ boules, que pour chaque $r\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$, la probabilité que l'urne contienne $r$ boules blanches est ${\large{\frac{1}{7}}}$, Puis pour $r\in\{3,4,5,6\}$, la fonction $$ f(r)=\frac { {\displaystyle{\frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}}}} } { \;\; {\displaystyle{ \sum_{r=3}^6 \frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}} }} \;\; } $$est la probabilité conditionnelle que l'urne contienne initialement$r$ boules blanches, étant donné que le premier $3$ les boules tirées étaient blanches.

Le reste de votre analyse est correct.