Problème de Sylvester.

Question

Un ensemble fini $S$de points dans un plan a la propriété qu'une ligne passant par deux de ces points passe par un troisième point. Prouvez que tous les points$S$ sont colinéaires.

J'ai vu une preuve de ce problème en utilisant le principe extrémal.

Supposons que les points ne soient pas colinéaires. Entre paires$(p,L)$ composé d'une ligne $L$ et un point pas sur cette ligne, nous en choisissons un qui minimise la distance $d$ de $p$ à $L$. Laisser$f$ être le pied de la perpendiculaire de $p$ à $L$. Il y a (par hypothèse) au moins trois points$a,b,c$ sur $L$. Ceci, deux de ceux-ci, disent$a$ et $b$ sont du même côté de $f$. Laisser$b $ être plus proche de $f$ que $a$. Puis la distance de$b$ à la ligne $ap$ est inférieur à $d$. Contradiction.

Ma question se situe dans la dernière partie. Je ne comprends pas comment "Alors la distance de$b$ à la ligne $ap$ est inférieur à $d$. "produit une contradiction. Quelqu'un peut-il expliquer?

Answer 1

Au début de la preuve, nous avons choisi $(p,L)$ telle que la distance $d$ entre $p$ et $L$ est le minimum parmi toutes les lignes et les points ne se trouvant pas sur cette ligne.

La contradiction survient lorsque nous avons produit la paire $(b, ap)$ avec une distance inférieure à $d$, qui contredit la condition de minimalité sur $(p,L)$.

"Geometry" pourrait être une balise.

EDIT: pourquoi $b$ est plus proche de $ap$ que $p$ est de $L$, considérons le triangle rectangle $\triangle afp$.

$b$ est sur le côté $af$. Sa distance de la ligne$ap$ ne peut pas dépasser la hauteur de $\triangle afp$ avec socle $ap$.

Depuis $ap$ est l'hypothénuse, $ap > af$.

Compte tenu de la superficie de $\triangle afp$, on voit que la hauteur de $\triangle afp$ avec socle $ap$ est inférieure à la hauteur de $\triangle afp$ avec socle $af$, lequel est $fp = d$.

Cela donne le résultat souhaité: la distance de $b$ de $ap$ est inférieur à $d$.

Answer 2

Pour une explication visuelle de la raison pour laquelle la distance de $B$ à $AP$est plus petit, voici une illustration. J'ai mis toutes les étiquettes de point en majuscule et ajouté$G$ et $H$, qui sont les pieds des perpendiculaires de $B$ et $F$ à la ligne $AP$, respectivement. Il devrait être clair que$PF > FH > BG$. La preuve formelle utilise des triangles et des proportions similaires.