Produit de groupe de permutation

Question

Laisser$E,F$être deux espaces vectoriels et$\varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}} \to F$un$p$-carte linéaire. Si$\sigma$est une permutation sur$S_{p}$, alors on peut définir un autre$p$-carte linéaire$\sigma \varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}}\to F$par:$$(\sigma \varphi)(x_{1},...,x_{p}) := \varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})$$

Maintenant, mon livre dit que si$\tau, \sigma$sont deux permutations, alors :$$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$Cependant, d'après mes calculs :$$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$puisque$[\sigma(\tau\varphi)](x_{1},...,x_{p}) = (\tau\varphi)(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))})$. Où est mon erreur ?

Answer 1

Il y a une erreur lorsque vous écrivez

$$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$

Vous avez

$$\begin{aligned}(\tau \sigma)\varphi(x_{1},...,x_{p}) &= \varphi(x_{(\tau\sigma)(1)},...,x_{(\tau\sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau\circ \sigma)(1)},...,x_{(\tau\circ \sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau(\sigma(1))},...,x_{(\tau(\sigma(p))})\\ &= \tau(\varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})\\ &= \tau(\sigma\varphi(x_1,...,x_p)\\ \end{aligned}$$

Donc l'égalité de ton livre$$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$

Answer 2

En général, il n'est pas vrai que$\varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$-- cela ne s'applique que si$\tau$et$\sigma$faire la navette en$S_p$. Prends pour exemple$p=3$,$\tau = (1\ 3), \sigma = (1\ 2\ 3)$. Puis$$\sigma\tau \phi = (1\ 2\ 3)(1\ 3)\phi = \phi(x_1,x_3,x_2) $$ $$\tau\sigma \phi = (1\ 3)(1\ 2\ 3)\phi = \phi(x_2, x_1, x_3)$$

Ce qui est vrai, c'est que lors de l'évaluation$\sigma\tau\phi$(par exemple), vous pouvez d'abord appliquer$\tau$pour$\phi$puis enfin appliquer$\sigma$, ou vous pouvez d'abord postuler$\sigma$pour$\tau$puis appliquer cette permutation combinée ($\sigma\tau$) pour$\phi$.