Projections d'espaces totalement déconnectés

Question

Laisser $X$ et $Y$être deux espaces métriques. Si$K$ est un sous-ensemble totalement déconnecté de $X\times Y$ faut les projections $\pi_{X}(K)$ et $\pi_{Y}(K)$aussi être totalement déconnecté? Et si X et Y sont supposés compacts?

Answer 1

Non, même lorsque les deux sont compacts.

Considérer $X=Y=[0,1]$ et laissez $C=(\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q})\cap X$. Notez que$C$est totalement déconnecté et indénombrable. Maintenant, laisse$f:C\to[0,1]$ être n'importe quelle bijection et considérer

$$K=Gr(f)=\{(x,f(x))\ |\ x\in C\}\subseteq X\times Y$$

Ce n'est pas difficile de voir ça $K$ est totalement déconnecté aussi, mais $\pi_2(K)=[0,1]$.