Propriétés de base des objets terminaux

Question

J'étudie le chapitre 0 d' Aluffi et je pense que je pourrais utiliser quelques idées de base sur les objets terminaux.

Tout morphisme d'un objet terminal à lui-même est l'identité . Pour le prouver, nous observons simplement qu'il ne peut y avoir qu'un seul morphisme à partir d'un objet initial$A$à tout autre objet, et il doit avoir la carte d'identité avec lui-même. Donc si$\| \text{Hom}(A,B) \| = 1$ pour tout objet $B$. En particulier,$\text{Hom}(A,A)$, doit contenir $\text{id}_A$, donc si $\phi \in \text{Hom}(A,A)$, puis $\phi$ doit être l'identité.

Pour les objets finaux, la preuve serait similaire. En pratique, si je pouvais obtenir une composition de fonctions d'un objet initial à lui-même, je pourrais dire que la fonction était l'identité, donc un isomorphisme, etc.

Si un objet est isomorphe à un objet final / initial, il est lui-même final / initial. Pour le prouver, supposons$A$ est initial, $\phi: A \rightarrow B$ est un isomorphisme, et $C$est un autre objet de notre catégorie. Un morphisme$A \rightarrow C$ existe toujours, donc la composition $B \rightarrow A \rightarrow C$ où se trouve la première flèche $\phi^{-1}$ et la seconde flèche est le morphisme donné par $A$étant initial, existe toujours. Si$f$était un autre morphisme$f:B \rightarrow C$, puis la composition $A \rightarrow B \rightarrow C$ est un morphisme de $A \rightarrow C$ il doit donc être unique.

En pratique, j'utiliserais ceci pour conclure qu'un objet est initial / terminal si je pouvais trouver un isomorphisme avec un autre objet initial / final.

Ce n'est qu'un croquis, mais est-ce exact? Édité pour plus de clarté et de remplissage des détails.

Answer 1

Je suppose que le livre utilise «objet terminal» pour désigner un objet «initial» ou «final».

Comme d'habitude, vous n'avez pas besoin de faire les deux preuves pour les objets initiaux et finaux, car un objet initial dans $\mathcal{C}$ est un objet final dans $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ et inversement.

Votre preuve est correcte, mais trop longue. Laisser$A$ être un objet initial et laisser $f\colon A\to A$être un morphisme. Depuis$\mathrm{id}_A$ est un morphisme de même source, à savoir $A$, et cible, nous avons cela $f=\mathrm{id}_A$, par unicité.

Supposons maintenant que $B$ est isomorphe à un objet initial $A$; laisser$b\colon A\to B$être un isomorphisme. Prenez n'importe quel objet$C$ et deux morphismes $f,g\colon B\to C$. ensuite$fb,gb\colon A\to C$sont deux morphismes, donc ils sont égaux. De$fb=gb$ on obtient $f=g$ en composant avec $b^{-1}$. Cela prouve l'unicité. L'existence découle du morphisme unique$h\colon A\to C$, nous avons donc $hb^{-1}\colon B\to C$.