Prouver l'équation en nombres complexes

Question

Prouvez cela pour tous $z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{\leq 0}$ l'équation suivante est satisfaite: $$ \sqrt z=\sqrt{|z|}\frac{|z|+z}{||z|+z|} $$

Voici ce que j'ai jusqu'à présent: $$ \sqrt z \cdot ||z|+z|=\sqrt{|z|}\cdot(|z|+z) $$

Maintenant, je place les deux côtés: $$ z \cdot (|z|+z)^2=|z|\cdot(|z|+z)^2 $$ Par conséquent: $$ z=|z| $$ Ce qui n'est évidemment pas vrai pour tous $z$ de l'ensemble donné.

Comment le prouver correctement? Où ai-je commis l'erreur?

Answer 1

Nous écrivons $z$ comme $z=R\cdot e^{ix}, R\neq 0$ alors $\vert z\vert = R$ et $\overline{z} = \overline{R\cdot e^{ix}}=R\cdot e^{-ix}$ et remarquez que $\vert z\vert =\sqrt{z\cdot \overline{z}}$ .À partir du $RHS$: $$\sqrt{|z|}\frac{|z|+z}{||z|+z|}=\sqrt{R}\frac{R+R\cdot e^{ix}}{R\cdot|1+e^{ix}|}=\sqrt{R}\frac{1+\cdot e^{ix}}{\sqrt{\left(1+e^{ix}\right)\left(1+e^{-ix}\right)}}=\sqrt{R\cdot \frac{1+e^{ix}}{1+e^{-ix}}}=\sqrt z$$

Answer 2

Depuis $z\in\Bbb C\setminus\Bbb R_{\le0}$, en particulier $z\neq0$ donc votre équation est égale $$ \sqrt{\frac{z}{|z|}}=\frac{|z|+z}{||z|+z|}\;. $$

Écrire maintenant $z$ sous forme polaire $$ z=re^{i\theta} $$ et le remplacer dans l'équation précédente conduira à \begin{align*} e^{i\left(\frac{\theta}2+k\pi\right)} =\frac{r(1+e^{i\theta})}{|r(1+e^{i\theta})|} =\frac{1+e^{i\theta}}{|1+e^{i\theta}|}\;, \end{align*}

pour $k=0,1$ selon le choix de la branche de la racine carrée.

Pouvez-vous continuer à partir d'ici?

Answer 3

Si $|z|+z\not=0$ (c'est-à-dire si $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\le0}$), puis

$$\left(\sqrt{|z|}{|z|+z\over||z|+z|}\right)^2=|z|{(|z|+z)(|z|+z)\over(|z|+z)(|z|+\overline{z})}={|z|^2+z|z|\over|z|+\overline{z}}={z\overline{z}+z|z|\over|z|+\overline{z}}=z$$

Observant également que $|z|\gt|\Re(z)|$ (la vraie partie de $z$) si $z\not\in\mathbb{R}$, pour que $\Re(|z|+z)\gt0$ si $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\le0}$, il s'ensuit que

$$\sqrt{|z|}{|z|+z\over||z|+z|}=\sqrt z$$

avec la convention de définition de fonction qui $\Re(\sqrt z)\gt0$ pour $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{\le0}$. (Notez que cela s'accorde avec$\sqrt{e^{i\theta}}=e^{i\theta/2}$ en utilisant la convention $-\pi\lt\theta\le\pi$, pas la convention $0\le\theta\lt2\pi$.)

Answer 4

Je montrerai l'intuition géométrique derrière cette égalité. Pour montrer l'égalité de deux nombres complexes, on peut également montrer l'égalité de leurs (1) modules et (2) arguments . Laisser$z\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_{\leq 0}$ tel que $z=re^{i\phi}$.

(1) Égalité des modules:$$|\sqrt{z}|=\left| \sqrt{|z|}\frac{|z|+z}{||z|+z|}\right| $$ $$\sqrt{|z|}= \sqrt{|z|}\frac{\left||z|+z\right|}{||z|+z|}$$ $$\checkmark$$ (2) En raison de (1) wlog laissez$|z|=1$. Vérifions l'égalité des arguments:$$\text{Arg} \sqrt{z}=\text{Arg} \sqrt{e^{i\phi}}=\text{Arg}e^{i\frac{\phi}{2} }=\frac{\phi}{2}$$ $$\text{Arg}\sqrt{|z|}\frac{|z|+z}{||z|+z|}=\text{Arg}(1+e^{i\phi})$$ égalité $\text{Arg}(1+e^{i\phi})=\frac{\phi}{2}$montre le dessin: