Prouver que chaque base de $R^n$ a $n$ éléments

Question

J'étudie des modules et j'ai trouvé une affirmation qui ne me semble pas très claire. La déclaration est la suivante,

Lorsqu'il existe un homomorphisme en anneau surjectif $R\rightarrow K$, avec $K$ un champ, puis chaque base de $R^n$ a $n$ éléments.

Quelqu'un peut-il m'aider à comprendre pourquoi c'est le cas?

Answer 1

Je ne pense même pas qu'il soit nécessaire que le morphisme soit surjectif (du moins, à condition que votre définition de l'homomorphisme en anneau inclue la prise $1$ à $1$). Et en fait,$K$n'a pas besoin d'être un champ; tout anneau satisfaisant la propriété de base invariante suffira. Si je me souviens bien, on a l'argument suivant, que j'ai appris pour la première fois dans les "Lectures on Modules and Rings" de TY Lam:

Supposer $m$ est un entier positif tel que $R^{n}$ admet une base avec $m$éléments. Cela revient à fournir un isomorphisme de$R$-modules $\varphi \colon R^{m} \to R^{n}$. En effet, supposons$r_{1}, \ldots, r_{m} \in R^{n}$sont vos éléments de base. Le morphisme (unique) de$R$-modules $R^{m} \to R^{n}$ envoyer le $i$e idempotent standard $e_{i}$ à $r_{i}$ doit être surjectif, car le $r_{i}$s générer $R^{n}$. D'autre part, ce morphisme doit aussi être injectif, car il n'y a pas de non trivial$R$-relations linéaires entre les $r_{i}$s.

Les données de $\varphi$, à son tour, équivaut à fournir des matrices $A, B$ avec des entrées dans $R$ des dimensions correctes telles que $AB = I_{m}, BA = I_{n}$. Appliquer le morphisme$R \to K$ entrée à $A, B$, on obtient des matrices $A', B'$ avec des entrées dans $K$ tel que $A'B' = I_{m}, B'A' = I_{n}$. Mais ces matrices définissent alors$K$-Cartes linéaires $K^{m} \to K^{n}, K^{n} \to K^{m}$ qui sont inverses, et nous devons donc avoir $n = m$ par l'algèbre linéaire usuelle (ou la propriété de base invariante).

(Vous pouvez également utiliser le foncteur $M \mapsto M \otimes_{R} K$ de $R$-modules à $K$-modules donnés par extension de scalaires, et par fonctorialité on voit que $\varphi \otimes_{R} \mathrm{Id}_{K} \colon K^{m} \to K^{n}$doit être un isomorphisme. Dans le cadre non commutatif, vous devez faire un peu attention à la "dimension" des modules considérés, mais cet argument passe en effet très bien.)