Pseudoinverse d'un état quantique

Question

L'entropie relative max entre deux états est définie comme $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \log\lambda$, où $\lambda$ est le plus petit nombre réel qui satisfait $\rho\leq \lambda\sigma$, où $A\leq B$ est utilisé pour indiquer que $B-A$ est semi-défini positif.

Une autre façon d'exprimer l'entropie relative maximale est

$$D_{\max}(\rho\|\sigma) = \|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}\|_{\infty},$$

où $\|\cdot\|_\infty$est la norme de l'opérateur qui sélectionne essentiellement la plus grande valeur propre. Je vois que l'idée essentielle est

\begin{align} \rho &\leq \lambda\sigma \\ \sigma^{-1/2}\rho\sigma^{-1/2}&\leq \lambda I \end{align}

Choisir le plus petit possible $\lambda$ aboutit à l'égalité et donc on récupère $D_{\max}(\rho\|\sigma)$ Par ici.

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J'ai supposé que $\sigma^{-1}$ ici est obtenu par

1. Diagonaliser $\sigma$
2. Prendre l'inverse de toutes les valeurs propres non nulles et laisser les valeurs propres nulles telles qu'elles sont
3. Non diagonalisant $\sigma$ de nouveau.

Cependant, cela n'a pas de sens parce que pour moi parce que lorsque le soutien de $\rho$ est plus grand que le soutien de $\sigma$, $D_{\max}(\rho\|\sigma) = \infty$. Cependant, il ressemble à$\|\sigma^{-1/2}\rho\sigma^{1/2}\|_\infty$ ne peut jamais être l'infini.

Alors, comment obtient-on $\sigma^{-1}$?

Answer 1

Il y a un problème dans la dérivation que vous avez présentée, car $\rho \leq \lambda \sigma$ est seulement équivalent à $\sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \leq \lambda I$ lorsque $\sigma$ est inversible (ou du moins quand $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$, afin que vous puissiez limiter l'espace à $\mathrm{supp}(\sigma)$au lieu de tout l'espace de Hilbert). La propriété n'est pas vraie sinon: considérez par exemple$|+\rangle\langle+| \leq \lambda |0\rangle\langle 0|$ comme contre-exemple.

Dans l'ensemble, seulement lorsque la condition $\mathrm{supp}(\rho) \subset \mathrm{supp}(\sigma)$ est satisfait peut-on conclure que $D_{\max}(\rho \| \sigma) = \log \| \sigma^{-1/2} \rho \sigma^{-1/2} \|_\infty$.