Puissance des sommes de matrices

Question

Quelle est la théorie derrière l'expression suivante, où A + B représente les matrices carrées nxn

Je sais comment cela se fait en algèbre mais comment arriver à cette expression? De toute évidence, le théorème binomial ne tient pas.

Answer 1

Les matrices sont en général non commutatives en ce qui concerne la multiplication. Ainsi l'ordre de multiplication doit être conservé lors de l'expansion des puissances des sommes de matrices.

$(A+B)^3$ est vraiment $(A+B)(A+B)(A+B)$, et l'expansion est déterminée en choisissant un terme de chaque facteur et en les combinant dans l'ordre .

Answer 2

C'est la loi distributive, appliquée un tas de fois. Pour élever à la deuxième puissance et écrire toutes les étapes:

$$(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = AA + AB + BA + BB$$

Puisque tu ne peux pas remplacer $BA$ avec $AB$ pour les matrices (en général), c'est aussi loin que vous pouvez aller avec la simplification, sauf pour collecter des séries de la même matrice qu'une puissance (par exemple $AA = A^2$). Pouvez-vous voir comment cela fonctionnerait lorsque vous multipliez par$(A+B)$ encore une fois?