Quand devons-nous utiliser la probabilité conditionnelle?

Question

Je pense à deux questions.

Étant donné que l'étudiant A assiste à la classe 50% du temps, l'étudiant B assiste à la classe 60% du temps.Si l'étudiant A assiste à la classe, il y a 80% de chances que l'étudiant B assiste à la classe.

Maintenant, étant donné qu'au moins un élève assiste à la classe, trouvez la probabilité que l'élève A fréquente la classe.

Alors maintenant, ma formule est ci-dessous:

Pr(A|A ∪ B)
= 0.5/((0.5+0.6 - 0.5*0.6))
=0.625

Deuxièmement, étant donné qu'au plus un élève assiste à la classe, trouvez la probabilité que l'élève A fréquente la classe.

Et voici mon calcul:

1 - Pr(B) - Pr(𝐴 ∩ 𝐵)
= 1 - 0.6 - 0.5*0.6
= 0.1

J'ai l'impression que le calcul ci-dessus est faux car si j'ajoute toutes les probabilités, il dépassera 1 et cela n'a aucun sens. Par conséquent, dans ce cas, comment pouvons-nous calculer ces probabilités? Je vous remercie.

Answer 1

Dans vos calculs, vous n'avez pas tenu compte de l'énoncé suivant:

Si l'élève A assiste à la classe, il y a un $80\%$ chance que l'élève B assiste à la classe.

Laisser $\Pr(A)$dénotent la probabilité que l'élève A fréquente la classe; laisser$\Pr(B)$dénotent la probabilité que l'élève B fréquente la classe. Ensuite, on nous donne les informations suivantes\begin{align*} \Pr(A) & = 0.5\\ \Pr(B) & = 0.6\\ \Pr(B \mid A) & = 0.8 \end{align*} La probabilité que les deux élèves fréquentent la classe est $$\Pr(A \cap B) = \Pr(A)\Pr(B \mid A) = (0.5)(0.8) = 0.4$$ Par conséquent, vous devriez avoir obtenu $$\Pr(A \cup B) = \Pr(A) + \Pr(B) - \Pr(A \cap B) = 0.5 + 0.6 - 0.4 = 0.7$$ Par conséquent, la probabilité que l'élève A assiste à la classe étant donné qu'au moins un élève assiste à la classe est $$\Pr(A \mid A \cup B) = \frac{\Pr(A)}{\Pr(A \cup B)} = \frac{0.5}{0.7} = \frac{5}{7}$$Comme lulu l'a indiqué dans les commentaires, vous ne pouvez pas supposer que les probabilités d'Assister en classe et de B en classe soient indépendantes. Comme vous pouvez le voir, la condition que vous n'avez pas prise en compte implique que le fait que l'élève A assiste à la classe et que l'élève B assiste à la classe soit en fait dépendant.

Observez que la probabilité que seul l'élève A assiste à la classe est $$\Pr(A) - \Pr(A \cap B) = 0.5 - 0.4 = 0.1$$ et que la probabilité que seul l'élève B fréquente la classe est $$\Pr(B) - \Pr(A \cap B) = 0.6 - 0.4 = 0.2$$ La probabilité que l'élève A assiste à la classe étant donné qu'au plus un élève assiste à la classe est $$\frac{\Pr(A) - \Pr(A \cap B)}{[\Pr(A) - \Pr(A \cap B)] + [\Pr(B) - \Pr(A \cap B)]}$$ que je vous laisserai calculer.