Quels groupes doublent?

Question

Un espace métrique $(M,d)$est doublement s'il existe$n$ de telle sorte que chaque boule de rayon $r$ peut être couvert par $n$ boules de rayon $r/2$, pour tous $r$. Pour quels groupes fg$G$ et groupes électrogènes symétriques finis $S$, est $\mathrm{Cay}(G, S)$doubler sous la métrique de chemin? Des groupes comme celui-ci ont une croissance polynomiale, ils sont donc pratiquement nilpotents selon le théorème de Gromov.

Alors, quels groupes pratiquement nilpotents doublent, et pour quels groupes électrogènes? Tout, je suppose, mais j'ai eu froid aux pieds en essayant de le faire, cela m'a semblé assez difficile directement à partir des définitions et je ne connais pas vraiment assez bien le groupe Lie.

Si $S$ est un groupe électrogène symétrique fini pour un groupe $G$, est $\mathrm{Cay}(G, S)$ doubler précisément quand $G$ est pratiquement nilpotent?

Je noterai que dans les graphes généraux (non orientés), le doublement implique une croissance polynomiale, mais pas l'inverse, considérons par exemple le graphe en peigne avec des sommets $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ et bords $\{\{(m,n), (m,n+1)\}, \{(m,0), (m+1,0)\} \;|\; m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}\}$. Mais cela pourrait être vrai pour les graphes transitifs de sommets.

Answer 1

Je pense que cela découle d'un argument de balle standard.

Supposer que $G$ avec la métrique $\rho$ induite par le graphique de Cayley a une croissance $V(R)=|B_R(1)| \sim R^d$, c'est à dire $\exists\ 0<c< C$ tel que $cR^d\leq V(R)\leq CR^d$, où $B_R(1)$ est la boule ouverte de rayon $R$à propos de l'identité (en effet, cet argument fonctionne pour tout espace de mesure métrique avec une croissance polynomiale de boules autour de chaque point dans ce sens). Cela vaut pour les groupes nilpotents générés en fin de compte par un résultat de Bass .

Puis prenez un maximum $R/2$-emballage $N_R$ de $B_R(1)$, c'est à dire $N_R\subset B_R(1)$ où $\rho(g_1,g_2)\geq R/2$ pour $g_1,g_2\in N_R, g_1\neq g_2$. Puis$B_{R/4}(g_1)\cap B_{R/4}(g_2) =\emptyset$.

Par maximalité, $B_R(1)\subseteq \cup_{g\in N_R} B_{R/2}(g)$: sinon, nous pourrions trouver un autre point $h\in B_R(1)$ dont la distance $\rho(h,N_R)$ Est au moins $R/2$, donc $N_R\cup \{h\}$ est un $R/2$-packing, une contradiction à la maximalité de $N_R$. Ainsi$N_R$ est un $R/2$-net de $B_R(1)$.

De plus, l'union des boules de rayon $R/4$ sur les points de $N_R$ réside dans $B_{5R/4}(1)$. D'où$|N_R|V(R/4) \leq V(5 R/4)$. Donc nous avons$|N_R| \leq \frac{V(5R/4)}{V(R/4)} \leq \frac{C (5R/4)^d}{c(R/4)^d} =C/c5^d $. Par conséquent, l'espace est en train de doubler.

Answer 2

Oui: un groupe compact fg discret, et plus généralement généré de manière compacte localement, double ssil a une croissance polynomiale.

Pour les groupes fg, vous avez mentionné $\Rightarrow$, et a demandé $\Leftarrow$, ce que je justifie ci-dessous.

Définir $X$ doubler à grande échelle si pour certains $R_0,M_0$, chaque boule de rayon $R\ge R_0$ est l'union finie de $M_0$ boules de rayon $R/2$.

Le doublement à grande échelle est un invariant QI. Pour un espace métrique dans lequel des boules de rayon donné ont un cardinal borné, cela équivaut évidemment à doubler.

Donc, pour un groupe fg, doubler ne dépend pas du choix d'un sous-ensemble de génération fini. Puisque chaque groupe fg nilpotent est QI pour un groupe de Lie nilpotent simplement connecté (Malcev), il suffit de vérifier que chaque groupe de Lie nilpotent simplement connecté$G$est un doublement à grande échelle. (Plus généralement, chaque groupe localement compact généré de manière compacte d'au plus une croissance polynomiale est QI pour un tel$G$.)

En effet Pansu a prouvé en 1983 que chaque cône asymptotique d'un tel groupe de Lie $G$ est homéomorphe à $G$et est un espace métrique approprié. Cela implique que$G$ est un doublement à grande échelle, par le fait suivant:

Si un espace $X$ n'est pas un doublement à grande échelle, alors il existe une séquence de points $(x_n)$, et rayons $r_n\to\infty$ et $M_n\to\infty$ tel que le $2r_n$-ball autour $x_n$ contient $M_n$ points à distance $\ge r_n$. Il s'ensuit facilement que l'ultralimite des espaces métriques redimensionnés$(X,x_n,\frac{1}{r_n}d)$, qui a un point de base naturel $o$ a une infinité de points dans le $2$-ball autour $o$ à distance par paire $\ge 1$, ce n'est donc pas un espace métrique approprié.