Question de jeu

Question

Exercice 4.21: Dans un jeu, vous gagnez \ $ 10 avec probabilité $ \ frac {1} {20} $ et perdez \ $ 1 avec probabilité$\frac{19}{20}$. Estimez la probabilité que vous ayez perdu moins de \ $ 100 après les 200 premières parties. Comment cette probabilité changera-t-elle après 300 matchs?

Tentative :

Tout d'abord, nous montrons les gains et les pertes ensemble dans une seule variable. Définissez \ begin {équation *} W_n = 10S_n - (n - S_n) \ end {équation *} où $ W_n $ désigne les gains après $ n $ jeux et $ S_n $ définit le nombre de gains dans $ n $ jeux. Ainsi, \ begin {équation *} P (W_n \ geq 100) = P (11S_n - n> -100) = P \ biggr (S_n> \ frac {n - 100} {11} \ biggr). \ end {equation *} Maintenant, nous appliquons le théorème central des limites dans les deux cas, avec des valeurs différentes de $ n $ .

Soit $ n = 200 $ , puis $ S_n \ sim Bin (200, \ frac {1} {20}) $ . On souhaite donc $ S_n> \ frac {100} {11} $ . De plus, $ E [S_n] = 200 \ cdot \ frac {1} {20} = 10 $ et Var $ (S_n) = 200 \ cdot \ frac {1} {20} \ cdot \ frac {19} {20} = \ frac {19} {2}. $ Ainsi, il résulte de CLT avec la correction de continuité que \ begin {equation *} P \ biggr (\ frac {\ frac {100} {11} - 10} {\ sqrt { \ frac {19} {2}}} <\ frac {S_n - 10} {\ sqrt {\ frac {19} {2}}} \ biggr) \ approx 1 - \ Phi (-0.457169) \ approx 0.6772. \ end {équation *}

Maintenant, le livre donne une réponse différente pour le premier cas de 200 jeux, soit 0,5636. Je souhaite comprendre mon erreur avant de passer au cas suivant

Intuitivement, cela a également un sens car la condition de $ S_n> \ frac {100} {11} $ devrait être près du haut de la courbe en cloche de la distribution normale, car la valeur attendue de 10 est proche de $ \ frac {100} {11} $ . Cependant, pour la vie de mon, je ne peux pas repérer l'erreur dans mon calcul.

(L'autre question de Math Stack Exchange pour cette question n'a rien clarifié pour moi, d'où ce post.)

Perdre moins de 100 $ dans un jeu de hasard.

Answer 1

Si $X$ est le nombre aléatoire de victoires en $n$ jeux, alors $$X \sim \operatorname{Binomial}(n = 200, p = 0.05)$$ et la variable aléatoire nette gain / perte est $$W = 10X - (n-X) = 11X - n.$$ Donc $$\Pr[W > -100] = \Pr[11X - 200 > -100] = \Pr[X \ge 10].$$ Cette dernière expression est due au fait que $X$ne peut pas prendre de valeurs fractionnaires. Par conséquent,$$\Pr[X \ge 10] = 1 - \sum_{x=0}^{9} \binom{200}{x} (0.05)^x (0.95)^{200-x} \approx 0.54529\ldots.$$ C'est la probabilité exacte: la seule approximation ici est l'arrondi de la fraction à une décimale.

Cela donne également un aperçu clé de la raison pour laquelle votre réponse est incorrecte: ce n'est pas parce que vous utilisez une approximation normale avec correction de continuité que les résultats pour $W$ que vous souhaitez inclure dans la probabilité souhaitée peut être en dehors de l'espace d'échantillonnage pour $W$.

Par exemple, si $U \sim \operatorname{Binomial}(n = 500, p = 0.5)$, et je te demande $\Pr[U < 225.999]$, vous devez d'abord écrire $\Pr[U < 225.999] = \Pr[U \le 225]$, puis vous appliquez la correction de continuité pour l'approcher comme$$\Pr\left[Z \le \frac{225.5 - 250}{5 \sqrt{5}}\right].$$La même chose s'applique ici; Donc$$\Pr[W > -100] = \Pr[X \ge 10] \approx \Pr\left[\frac{X - 10}{\sqrt{9.5}} \ge \frac{9.5 - 10}{\sqrt{9.5}}\right] \approx \Pr[Z \ge -0.162221] \approx 0.564434.$$ Évidemment, votre texte est arrondi avant de terminer le calcul, ou il utilise une recherche de table normale standard sans interpolation, car $\Pr[Z \ge -0.16] \approx 0.563559$. Dans tous les cas, l'approximation$$\Pr[Z \ge -0.457169] \approx 0.676225$$ s'écarte beaucoup trop.