Question simple sur la différenciation du CDF [dupliquer]

Question

Supposons que nous ayons $n$ $i.i.d$ Variables aléatoires $X_{1},\ldots,X_{n}$ tous distribués uniformément, $X_{i} \sim \mathrm{Uniform}\left(0,1\right)$ .

• Nous voulons trouver la valeur attendue de $\mathbb{E}[Y_{n}]$ où $Y_{n} = \max\left\{X_{1},\ldots,X_{n}\right\}$.
• Ici j'ai $F_Y\left(y\right) = \int\mathrm{d}x_{1}\ldots\int\mathrm{d}x_{n} = \left[F_{X}\left(y\right)\right]^n $ mais pour obtenir $f_{Y}\left(y\right)$ j'ai besoin de différencier $F_{Y}\left(y\right)$ par rapport à $y$ mais comment différencier $\left[F_{X}\left(y\right)\right]^{n}$ par rapport à $y\,?$.

Answer 1

Définir $Y = \max_{1 \leq i \leq n} X_i$ de sorte que pour tout $0 \leq y \leq 1$, nous avons

$$F_{Y}(y) = P(Y \leq y ) = \prod_{i = 1}^{n} P(X_i \leq y) = [P(X_1 \leq y)]^{n} = y^{n}.$$

Différencier, on peut trouver

$$f_{Y}(y) = \frac{d}{dy} F_{Y}(y) = ny^{n - 1},$$

qui donne

$$f_{Y}(y) = \begin{cases} ny^{n - 1} & \text{ if } 0 \leq y < 1 \\ 0 & \text{ otherwise.} \end{cases} $$

La valeur attendue est calculée comme suit:

$$\mathbb{E}[Y] = \int_{0}^{1} y \cdot f_{Y}(y) \mathop{dy} = \int_{0}^{1} ny^{n} \mathop{dy} = \boxed{\frac{n}{ n + 1}}$$

Answer 2

Différenciation de $F(y)$ n'est pas nécessaire.

En réalité,

$$F_Y(y)=y^n$$

Mais comme Y est non négatif, son espérance peut être dérivée de la manière suivante

$$\mathbb{E}[Y]=\int_0^1 [1-y^n]dy=\frac{n}{n+1}$$