Rang Cantor-Bendixson de type isolé

Question

C'est le lemme 2.2.3 (i) dans le livre de S.Buechler Essential Stability Theory . Laisser$T$être une théorie complète. On définit le rang de Cantor-Bendixson d'une formule$\phi$ dans $n$ variables comme suit.

1. $CB(\phi)=-1$ si $\phi$ est incohérent;
2. Laisser $\alpha$ être un ordinal, et $\Psi_{\alpha}= \{\psi: CB(\psi)=\beta \mbox{ for some } \beta < \alpha \}$. $CB(\phi)=\alpha$ si $\{p\in S_n(\emptyset) : \phi \in p \mbox{ and } \neg \psi \in p \mbox{ for all } \psi \in \Psi_{\alpha} \}$ est non vide et fini.

Laisser $p$ être un complet isolé $n$-type. Alors on sait que$p$ est isolé par la formule $\phi'$de la définition de l'isolement. Ma question est

Pourquoi $CB(\phi')=0$ ?

Il semble que nous devons montrer qu'il n'y a qu'une infinité de types $p \in S_n(\emptyset)$ lequel $\phi' \in p$ et $\neg \psi \in p$ pour tous $\psi \in \Psi_0$. Mais je ne sais pas comment le prouver. Tous les conseils et suggestions sont les bienvenus. Je vous remercie!

Answer 1

Prouvons d'abord cela directement à partir des définitions que vous mentionnez. Les formules dans$\Psi_0$sont exactement les formules incohérentes. Donc pour tout type$q$ et n'importe quel $\psi \in \Psi_0$ nous avons $\neg \psi \in q$. Cela signifie que$$ \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q \text{ and } \neg \psi \in q \text{ for all } \psi \in \Psi_0\} = \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q\} = \{p\}, $$ où la dernière égalité suit parce que $\phi'$ isole $p$. Alors en effet$CB(\phi') = 0$.

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Le rang de Cantor-Bendixson est aussi souvent défini de manière topologique comme suit. Pour les références, voir par exemple A Course in Model Theory by Tent and Ziegler, exercice 6.2.6, ou Model Theory: An Introduction by Marker, exercice 6.6.19g (bien qu'il y ait une faute de frappe ici, qui devrait être claire à partir de la définition ci-dessous) .

Pour un espace topologique $X$ nous définissons $X^{(\alpha)}$ pour les ordinaux $\alpha$ comme suit:

1. $X^{(0)} = X$,
2. $X^{(\alpha+1)} = X^{(\alpha)} - \{x \in X^{(\alpha)} : x \text{ is an isolated point in } X^{(\alpha)}\}$,
3. $X^{(\lambda)} = \bigcap_{\alpha < \lambda} X^{(\alpha)}$ pour limite $\lambda$.

Nous appelons $X^{(\alpha)}$ la $\alpha$-th dérivé de Cantor-Bendixson de$X$. Pour un point$x \in X$le rang Cantor-Bendixson $CB(x)$ est alors le maximum $\alpha$ tel que $x \in X^{(\alpha)}$.

Appliquer ceci à $X = S_n(\emptyset)$ on peut donner un sens au Cantor-Bendixson pour une formule $\phi$ en définissant $$ CB(\phi) = \sup \{CB(p) : \phi \in p \in S_n(\emptyset)\}. $$Ce serait un bon exercice de montrer que ces définitions sont équivalentes (bien que ce serait un exercice plus difficile que ce que vous avez demandé). Avec ces définitions, il s'ensuivrait également facilement que$CB(\phi') = 0$ si $\phi'$ isole un type.