Séquence récurrente avec exposant
Travaillant avec des séquences récurrentes et générant des fonctions, je suis généralement perdu dans la résolution d'une expression générale de $a_n$ pour toute $n$ lorsque la partie suivante de la séquence, c'est-à-dire $a_{n+1}$, se présente sous la forme d'un exposant, tel que $a_n = a_{n-1} +k^{n-1}$, où k est une constante. Je n'ai aucune idée de la façon d'aborder ce problème.
J'ai résolu la séquence de Fibonacci en soustrayant les deux termes pervers et en déplaçant la séquence, mais cela ne semble pas fonctionner ici.
Je travaille particulièrement avec $a_n = 2a_{n-1} + 5^{n-1}$, mais la séquence se développe extrêmement rapidement. Le cas de base,$a_{0} = 1$.
Toute aide serait appréciée!
Réponses
Nous utilisons des fonctions génératrices ordinaires. Laisser$A(x) = \sum_{i=0}^n a_n x^n$. Ensuite, nous avons (additionné de$n=1$)
\ begin {align} a_n & = 2a_ {n-1} + 5 ^ {n-1}, \\ \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_nx ^ n & = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 2a_ {n-1} x ^ n + \ somme_ {n = 1} ^ \ infty 5 ^ {n-1} x ^ n, \\ A (x) - a_0 & = 2x \ somme_ {n = 1} ^ \ infty a_ {n-1} x ^ {n-1} + x \ sum_ {n = 1} ^ \ infty 5 ^ {n-1} x ^ {n-1}, \\ A (x) - 1 & = 2x \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a_ {n} x ^ {n} + x \ sum_ {n = 0} ^ \ infty 5 ^ {n} x ^ {n}, \\ A (x ) - 1 & = 2xA (x) + \ frac {x} {1-5x}, \\ A (x) - 2xA (x) & = \ frac {x} {1-5x} + 1, \\ A (x) & = \ frac {x} {(1-2x) (1-5x)} + \ frac {1} {1-2x}. \\ \ end {align} Maintenant, nous utilisons la décomposition de fraction partielle et un peu d'algèbre pour obtenir
\ begin {align} A (x) & = \ frac {1} {3 (1-5x)} - \ frac {1} {3 (1-2x)} + \ frac {1} {1-2x} \ \ & = \ frac {1} {3} \ left (\ frac {1} {(1-5x)} + \ frac {2} {(1-2x)} \ right) \\ & = \ frac {1 } {3} \ left (\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 5 ^ nx ^ n + 2 \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ nx ^ n \ right). \ end {align}
D'ici nous voyons $$a_n = \frac{5^n + 2^{n+1}}{3}.$$
Parce que celui avec lequel vous travaillez actuellement est de premier ordre, vous pouvez simplement le `` dérouler '':
$$\begin{align*} a_n&=2a_{n-1}+5^{n-1}\\ &=2\left(2a_{n-2}+5^{n-2}\right)+5^{n-1}\\ &=2^2a_{n-2}+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &=2^2\left(2a_{n-3}+5^{n-3}\right)+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &=2^3a_{n-3}+2^2\cdot5^{n-3}+2\cdot5^{n-2}+5^{n-1}\\ &\;\;\vdots\\ &=2^ka_{n-k}+\sum_{i=0}^{k-1}2^i5^{n-1-i}\\ &\;\;\vdots\\ &=2^na_0+\sum_{i=0}^{n-1}2^i5^{n-1-i}\\ &=2^na_0+5^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac25\right)^i\\ &=2^na_0+5^{n-1}\cdot\frac{1-\left(\frac25\right)^n}{1-\frac25}\\ &=2^na_0+\frac{5^n-2^n}3 \end{align*}$$
J'adore télescoper.
Si $a_n = ua_{n-1} + vc^{n} $, puis $\dfrac{a_n}{u^n} = \dfrac{a_{n-1}}{u^{n-1}} + v(c/u)^{n} $.
Laisser $b_n = \dfrac{a_n}{u^n}$. ensuite $b_n =b_{n-1}+vd^n $ où $d = c/u$.
ensuite $b_n-b_{n-1} =vd^n $.
Sommaire,
$\begin{array}\\ b_m-b_0 &=\sum_{n=1}^m (b_n-b_{n-1})\\ &=\sum_{n=1}^m vd^n\\ &=v\dfrac{d-d^{m+1}}{1-d}\\ &=vd\dfrac{1-d^{m}}{1-d}\\ \end{array} $
donc
$\begin{array}\\ \dfrac{a_m}{u^m} &=a_0+vd\dfrac{1-d^m}{1-d}\\ \text{or}\\ a_m &=a_0u^m+\dfrac{vc}{u}u^m\dfrac{1-(c/u)^m}{1-c/u}\\ &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ \end{array} $
Dans ce cas, $u=2, c=5, v = \frac15, a_0 = 1 $ donc $a_m = 2^m + \dfrac{2^m-5^m}{2-5} = 2^m + \dfrac{5^m-2^m}{3} $.
Cela peut être réécrit comme
$\begin{array}\\ a_m &=a_0u^m+vc\dfrac{u^m-c^m}{u-c}\\ &=\dfrac{(u-c)a_0u^m+vc(u^m-c^m)}{u-c}\\ &=\dfrac{(a_0(u-c)+vc)u^m-vc^{m+1}}{u-c}\\ \end{array} $
Encore une fois, nous obtenons $=\dfrac{(a_0(u-c)+vc)u^m-vc^{m+1}}{u-c} =\dfrac{(-3+1)2^m-5^{m}}{-3} =\dfrac{2\cdot 2^m+5^{m}}{3} $.
Rendez-le d'abord homogène.
$$a_n-2a_{n-1} = 5^{n-1} $$ $$a_{n+1}-2a_n = 5^n $$ $$\Rightarrow a_{n+1}-2a_n=5(a_n-2a_{n-1}) \tag 1$$ $$\Rightarrow a_{n+1}-5a_n=2(a_n-5a_{n-1}) \tag 2$$
(1) et (2) sont des séquences géométriques, donc
$$ a_{n+1}-2a_n = 5^n (a_1-2a_0) = 5^n (3-2)= 5^n \tag 3 $$ $$ a_{n+1}-5a_n = 2^n (a_1-5a_0) = 2^n (3-5)= -2^{n+1} \tag 4 $$ (3) - (4) $$ a_n = \frac{1}{3} (5^n + 2^{n+1}). \blacksquare $$
(S'il vous plaît voir mon message https://math.stackexchange.com/questions/3897344/show-that-for-every-positive-integer-f-n-frac-left-frac1-sqrt52-rig/3899525#3899525)