Séquences de Collatz généralisées

Question

Laisser $\mathbb{N}$désigne l'ensemble des entiers positifs. Pour$k\in\mathbb{N}$ laisser $c_k:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ être défini par $x\mapsto x/2$ pour $x$ même et $x\mapsto kx+1$autrement. La séquence Collatz de$x\in \mathbb{N}$ par rapport à $k$, désigné par $\text{Coll}_{x,k}:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ est défini par $1\mapsto x$ et $n\mapsto c_k(\text{Coll}_{x,k}(n-1))$ pour $n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$.

La célèbre conjecture de Collatz stipule que $$1\in\text{im(Coll}_{x,3})$$ pour chaque $\in\mathbb{N}$.

Pour $k$ même, le comportement de $\text{Coll}_{x,k}$ est inintéressant, et il est facile de voir que pour chaque $x\in\mathbb{N}$, la séquence $\text{Coll}_{x,1}$éventuellement périodique. De plus, si$k>1$ et $k=4a+1$ pour certains $a\in\mathbb{N}$, nous comprenons qu'aucun membre de $\text{im}(\text{Coll}_{k,k})$ est divisible par $4$... ( Edit: excuses, cette dernière déclaration est fausse comme l'a souligné l'utilisateur @wojowu! J'ai donc pensé à tort seulement$k=4a+1$ n'est pas intéressant, donc les questions ci-dessous se concentrent sur $k=4a+3$.)

Des questions.

1. Y a-t-il $a\in\mathbb{N}$ tel qu'il y a un entier positif $x$ tel que $\text{Coll}_{x,4a+3}$est illimité? (La plus petite valeur connue de$a$ satisfaire ce serait intéressant.)

2. Y a-t-il $a\in\mathbb{N}$ tel qu'il y a un entier positif $x$ tel que $\text{Coll}_{x,4a+3}$ est borné, mais $1\notin \text{im}(\text{Coll}_{x,4a+3})$, ou en d'autres termes, $\text{Coll}_{x,4a+3}$ est finalement périodique, mais $1$ n'est pas impliqué dans la période?

Éditer. J'ai corrigé la définition inductive de$\text{Coll}_{x,k}$. Merci à l'utilisateur @wojowu d'avoir repéré mon erreur.

Answer 1

Ce long commentaire pourrait être utile:

Je pense que la réponse est négative comme je l'ai souligné dans les commentaires car presque toutes les orbites de Collatz atteignent des valeurs presque limitées, le résultat qui est montré par Terras et a été prouvé par Allouch qui déclare que${\mathrm{Col}_{\min}(N) < N}$ Pour presque tous $N$(au sens de densité naturelle), et il y a ici une amélioration par Terry Tao au sens de densité logarithmique ( voir Théorème 2 ).