Singularité du cou de Ricci Flow
Je m'excuse si cette question n'est pas claire car je ne connais pas grand-chose au flux de Ricci et je ne la pose que par curiosité. Ma compréhension est qu'une singularité de pince-cou est une singularité locale dans le sens où elle se produit sur un sous-ensemble compact d'une variété. L'image classique est celle d'un collecteur d'haltères, où une singularité locale se forme après un temps fini alors que le cou de l'haltère se contracte sous le flux de Ricci.
Ceci est en contraste avec un exemple comme la sphère rétrécissante, qui décrit une singularité globale. Ma question est de savoir si une singularité de pince-cou doit nécessairement être une singularité locale de la définition formelle, ou s'il y a un sens dans lequel il est possible d'avoir quelque chose comme une singularité de pince-cou globale (au moins intuitivement).
Edit: J'y ai repensé et évidemment le tour de cou ne peut être qu'un type de singularité locale. Je ne sais pas s'il y a quelque chose de vaguement similaire qui est en quelque sorte classé comme global, car les singularités du flux de Ricci ne sont pas un sujet que je connais.
Réponses
Ce que vous entendez par singularité locale, ou ce que cela pourrait signifier pour une singularité locale d'être «globale» n'est pas tout à fait clair. Je vais essayer de préciser ces idées. Cependant, je ne pourrai pas donner de réponse car les profils de singularité ne sont pas entièrement compris lorsque la dimension est supérieure à trois.
On peut dire qu'une singularité d'écoulement de Ricci est locale lorsque sa limite de gonflage n'est pas compacte. Le tour de cou en serait l'exemple prototypique, car l'explosion s'apparente à un cylindre. Le fait que le profil de la singularité soit non compact signifie qu'il existe des régions où la courbure est beaucoup plus petite que la courbure maximale. Voici deux définitions possibles d'une singularité locale «globale», soit comme une singularité où la courbure va partout à l'infini (même si cela se passe beaucoup plus vite en certains points plutôt que sur d'autres) ou peut-être comme une singularité où le diamètre de la variété converge vers zéro au moment singulier. Malheureusement, je ne sais pas si cela est possible et je pense que c'est une question ouverte.
Ce que je peux dire, c'est que de telles singularités peuvent se produire pour un écoulement de raccourcissement de courbe , qui est un autre écoulement géométrique introduit par Hamilton dans les années 1980. En particulier, si vous commencez avec une courbe symétrique qui a la forme d'un chiffre 8 (c'est-à-dire le symbole de l'infini), sous l'écoulement de raccourcissement de la courbe, sa longueur diminuera à zéro au moment singulier, donc dans un sens la courbe se rétrécit en un point. Cependant, les profils d'explosion seront deux courbes sinistres séparées (selon le côté de la figure 8 sur lequel vous explosez), qui ne sont pas compactes.