Smash produit comme pullback?
En considérant le $\mathsf{Hom}$-foncteur
$$ \mathsf{Hom}_*: \mathsf{Set}_*^{\text{op}} \times \mathsf{Set}_* \to \mathsf{Set}_* $$
il me semble assez clair que l'adjoint de gauche est le produit smash
$$ (X,x_0) \wedge (Y,y_0) = (X\times Y) / [(X\times \{y_0\}) \cup (\{x_0\} \times Y)]. $$
Cela me semble relativement simple puisque si $F$ est l'adjoint de gauche, alors
$$ \mathsf{Set}_*\left [(X,x_0), \mathsf{Hom}_*\left ((Y,y_0), (Z,z_0)\right ) \right ] \;\; \cong \;\; \mathsf{Set}_*\left [F((X,x_0), (Y,y_0)), (Z, z_0) \right ] $$
ce qui signifie que $F((X,x_0), (Y,y_0))$ est un ensemble pointu et correspond précisément à des mappages constants sur toutes les paires de la forme $(x,y_0)$ et $(x_0,y)$ pour tous $x\in X, y\in Y$.
Maintenant, ma question découle du livre de Riehl où elle prétend que cette déclaration peut être formulée de manière catégorique de sorte que $\mathsf{Set}$ peut être remplacé par n'importe quelle catégorie fermée cartésienne.
Le produit smash peut-il être décrit comme un pullback? En d'autres termes, avons-nous le diagramme commutatif suivant:
$$ \require{AMScd} \begin{CD} (X,x_0)\wedge (Y,y_0) @>>> X \\ @VVV @VVV \\ Y @>>> X\times Y \end{CD} $$
où les deux premières jambes sont en saillie et les deux suivantes sont des inclusions de la forme $i_{y_0}:X\to X\times Y$ donné par $i_{y_0}(x) = (x,y_0)$ et de même, $i_{x_0}:Y\to X\times Y$ donné par $i_{x_0}(y) = (x_0,y)$? Faites-moi savoir si ma logique semble bonne, et sinon dans quelle direction je devrais prendre cela. Où
Réponses
Dans la catégorie des ensembles pointus, le point $x_0\in X$ correspond à un morphisme $x_0 : * \to X$. Étant donné deux ensembles pointus, vous pouvez former le pushout$$ \require{AMScd} \begin{CD} * @>>> X \\ @VVV@VVV \\ Y @>>> X \vee Y \end{CD} $$ où vous identifiez les deux points $x_0,y_0$ en un seul dans l'union disjointe $X\sqcup Y$.
Maintenant, observez que $X\vee Y$ est un sous-ensemble (pointu) de $X\times Y$: il s'identifie au sous-ensemble $(\{x_0\}\times Y)\times (X\times\{y_0\})$ (simplement parce que les deux points distingués sont devenus un point $(x_0,y_0)$ dans $X\vee Y$).
Et si vous preniez le quotient de $X\times Y$ par $X\vee Y$? C'est exactement le produit sensationnel de$X$ et $Y$. Mais en même temps, c'est aussi le pushout$$\require{AMScd} \begin{CD} X\vee Y @>>> X\times Y \\ @VVV@VVV \\ * @>>> X\land Y \end{CD} $$ Cela fonctionne exactement de la même manière dans chaque catégorie qui a un objet zéro et tous les pushouts: par exemple dans la catégorie des espaces topologiques pointés.
Un fait intéressant est que si votre catégorie est, par exemple, celle des groupes abéliens, le "produit smash" il y a l'objet zéro, car $X\vee Y\cong X\times Y=X\oplus Y$.
Ainsi, vous pouvez considérer le produit smash comme une mesure de l'échec des produits et des coproduits à être isomorphes: plus le quotient est grand $\frac{X\times Y}{X\vee Y}$, plus la catégorie ambiante est éloignée des biproduits .