Solution bornée d'une équation différentielle linéaire

Question

Étant donné une équation différentielle linéaire $\frac{dy}{dx} = a(x)y + b(x)$ où $a(x)$ et $b(x)$ sont des fonctions continues sur $x \geq 0$. Si$a(x) \leq -m < 0$ et $b(x)$ est bornée, alors toute solution de l'équation différentielle est bornée.

Nous savons que la solution de l'équation différentielle ci-dessus est donnée par $$y(x) = \exp(A(x)) \left[ \int\exp(-A(x))b(x)dx + C \right],$$

où $A(x) = \int a(x) dx$ et $C$ est une constante.

Nous savons que $a(x) \leq -m$, et donc, $A(x) \leq \int (-m)dx = -mx$. Donc,$\exp(A(x)) \leq \exp(-mx)$. Mais$\exp(-A(x)) \geq \exp(mx)$.

Aussi depuis $b(x)$ est borné, nous avons $|b(x)| \leq M$ pour certains $M \in \mathbb{R}$.

Donc,

\begin{align*} |y(x)| &= \left|\exp(A(x) \left[ \int\exp(-A(x))b(x)dx + C \right] \right| \\ &\leq |\exp(A(x)| \left[\int |\exp (-A(x)| |b(x)| dx + |C| \right]. \end{align*}

De là, je ne sais pas quoi faire ensuite.

Answer 1

Le but est de déplacer le $e^{A(x)}$ facteur à l'intérieur. $$y(x)=\int_0^x e^{A(x)-A(x’)}b(x’)dx’+Ce^{A(x)}.$$ Notez que $$A(x’)-A(x)=\int_x^{x’}a(z)dz\leq-m(x-x’)\leq0$$ si $x’\leq x$. De là, vous pouvez voir comment terminer.