Solution incohérente à l'équation différentielle

Question

$Q.$ Soit f (x) une fonction continue satisfaisant l'équation différentielle suivante: $$f(x)=(1+x^2)(1+\int_0^x\frac{f^2(t)dt}{1+t^2})$$ $$\text{Find f(1)}$$ Mon travail - 1) Mettre $x=0$ dans l'équation nous obtenons $f(0)=1$ 2) Diviser par $1+x^2$ et différenciant wrt $x$ on a- $$(\frac{y}{1+x^2})'=\frac{y^2}{1+x^2}\qquad\text{∴ y=f(x)}$$ Simplifier $$y'(1+x^2)-2xy=y^2(1+x^2)$$ alors non plus $f(x)=0$ ou alors $$\frac{-dy(1+x^2)}{y^2}+\frac{2xdx}{y}=(-1-x^2)dx$$ $$\frac{d}{dx}(\frac{1+x^2}{y})=\frac{d}{dx}(-x-\frac{x^3}{3})$$ $$\frac{1+x^2}{y}=-x-\frac{x^3}{3}+c$$ Utilisant $y(0)=1$ on a $c=1$ et donc $$f(1)=-6$$Mon problème - en regardant la question, quelle que soit la valeur de f (x), le RHS de l'équation doit toujours être positif (au carré), mais la réponse devient négative. Est-ce que je manque quelque chose? Ou y a-t-il une erreur dans la question? Ou est$f(x)=0$ la seule solution acceptable?

Answer 1

Votre solution de l'équation intégrale me semble bonne, et votre observation sur le signe est bonne.

Le problème est que la solution explose quand $x^3+3x-3=0$, ce qui arrive quand $x$ approches $0.82$, environ.

Answer 2

$$\frac{f(x)}{1+x^2}=1+\int_{0}^{x} \frac{f^2(t)}{1+t^2}dt \implies f(0)=1$$ D. wrt $x$, en utilisant Lebnitz, pour obtenir $$f'(x)-\frac{2x}{1+x^2}f(x)=f^2(x)\implies f^{-2}f'-\frac{2x}{1+x^2}\frac{1}{f}=1$$C'est l'équation de Bernoulli. Laisser$1/f=v$, alors nous obtenons $$\frac{dv}{dx}+\frac{2x}{1+x^2}v=-1$$ Il s'agit d'une équation linéaire, dont le facteur d'intégration est $I=\exp[\int \frac{2x}{1+x^2}dx]\implies I= (1+x^2)$ $$v=(1+x^2)^{-1} \int -1(1+x^2) dx + C (1+x^2)^{-1}.$$ $$\implies v=\frac{-x-x^3/3}{1+x^2}+C(1+x^2)^{-1}=\frac{1}{f}$$ Utilisé $f(0)=1 \implies C=1.$ Pour terminer, $$f(x)=\frac{1+x^2}{1-x-x^3/3}.$$ Donc $f(1)=-6.$ L'intrigue de $f(x)$ est donné ci-dessous où $f(x)>0$seulement dans (0,0.8177 ..), alors il y a une singularité à $x=0.8177..$et cela devient négatif. La réponse à la question intéressante de OP pourrait résider dans la non-linéarité de cette ODE.