Substitution / changement de variable dans l'intégration

Question

Les techniques d'intégration sont des débutants pour moi en ce moment, et on m'a attribué cette intégrale. Mon professeur recommande d'utiliser la substitution / changement de variable pour intégrer cette fonction.

$$\int (x^6+x^3)\sqrt[3]{x^3+2} dx$$

Il m'a donné un indice après lui avoir demandé de l'aide et m'a dit: «Regardez ce qui est à l'intérieur de la racine cubique, de sorte que lorsque vous prenez le dérivé de ce qui est à l'intérieur, vous obtenez ce qui est à l'extérieur de la racine cubique. Pour que cela fonctionne, vous pouvez essayer de factoriser quelque chose à partir de x ^ 3 + 2, de cette façon lorsque vous le dérivez, le résultat peut vous aider avec tout ce qui est à l'extérieur de la racine cubique. »Je pensais par exemple x ^ 3 + 2 = x ^ 3 (1 + 2x ^ -3)

Answer 1

Je réécrirais l'intégrale comme

$$\int x\color{red}{x^2}(x^3+1)\sqrt[3]{\color{red}{x^3+1}+1}\,\mathrm dx$$

puis remplacez $u=x^3+1$ (qui donne $x=\sqrt[3]{u-1}$) et $\mathrm du=3x^2\,\mathrm dx$ obtenir

$$\frac13\int\sqrt[3]{u-1}u\sqrt[3]{u+1}\,\mathrm du=\frac13\int u\sqrt[3]{u^2-1}\,\mathrm du$$

Puis une autre substitution, $v=u^2-1$ et $\mathrm dv=2u\,\mathrm du$, vous laissant avec

$$\frac16\int\sqrt[3]{v}\,\mathrm dv$$