Supremum de $\sin(x) + \sin(\varphi x)$

Question

Laisser $\varphi$être le nombre d'or. Quel est le supremum de$f(x)=\sin(x) + \sin(\varphi x)$?

Mon idée était que nous pouvons considérer la séquence des fonctions $f_n(x) = \sin(x) + \sin(\frac{F_{n+1}}{F_n} x)$ pour les nombres de Fibonacci $F_n$, qui converge vers $f(x)$. La séquence$\{x_n\}_{n \geq 1}=F_n \pi + a_n$ satisfait $f_n(x_n) = \sin(a_n) + \sin(F_n a_n)$, de sorte que si nous choisissons le bon $a_n$, puis $f_n(x_n) =2$ $\forall n$; ce qui change le problème en un avec un entier au lieu de$\varphi$, mais je ne sais pas trop par où procéder.

Answer 1

Il est clair que le maximum est limité ci-dessus par $2$, comme chacun $\sin$ a un maximum de $1$.

Vous obtenez le maximum pour la première fonction lorsque $\sin x = 1$ ou $x = 2 \pi k_1 + \pi/2$ pour un entier $k_1$, et de même quand $\sin (\phi x) = 1$ ou $\phi x = 2 \pi k_2 + \pi/2$. Une petite manipulation donne:

$$k_1 = \frac{k_2}{\phi} - \frac{\phi - 1}{4 \phi}$$

Car $\phi$ n'est pas rationnel, on ne peut pas résoudre cette équation exactement pour $k_1$ et $k_2$. Cependant, vous pouvez l'approcher arbitrairement de près en choisissant$k_2$ extrêmement grand (par exemple, $10^{1000}$) et la résolution de $k_1$. De cette façon, vous pouvez vous rapprocher au plus près$f(x) = 2$ comme vous voulez.