Sur comptage avec symétrie

Question

Un comité sénatorial a $5$ Démocrates et $5$Républicains. De combien de manières peuvent-ils s'asseoir autour d'une table circulaire si tous les membres de chaque parti sont assis les uns à côté des autres? Deux configurations de sièges sont considérées comme identiques si, pour chaque personne, à sa gauche est la même dans les deux arrangements.

Mon approche:

Nous pouvons organiser chaque groupe en $5!$façons. Nous pouvons organiser le groupe dans son ensemble$2!$ manières ie $RD$ et $DR$. Je sais que cela semble être le même en raison de l'arrangement circulaire. Cependant, je veux surévaluer les symétries autant que possible afin que nous puissions nous diviser en une seule fois. Cela nous amène à$5!\times 5!\times 2$. Maintenant, chaque arrangement est surestimé$10$ fois ($10$rotations). Cela conduit à ma réponse$\dfrac{5!\times 5!\times 2}{10}$. Je crois que c'est faux parce que pour un simple cas de$2$ Démocrates et $2$ Républicains, cette approche conduit à $2$arrangements. Mais, il peut être facilement vérifié qu'il y a$4$arrangements possibles. Quelqu'un peut-il m'aider s'il vous plaît à découvrir l'erreur et la bonne réponse?

Answer 1

Puisque chaque arrangement est complètement déterminé par l'ordre de chaque partie dans son bloc, $5!\cdot5!$compte déjà chaque arrangement exactement une fois. Ce même arrangement peut se produire dans n'importe lequel des$10$ positions autour de la table, donc si vous voulez vraiment sur-dénombrer et ensuite vous débarrasser du surdénombrement, $10\cdot5!\cdot5!$des arrangements qui se distinguent non seulement par l'ordre des personnes autour de la table mais par leurs positions absolues à la table. Alors tu diviserais par$10$ pour prendre en compte le fait que les arrangements équivalents en rotation ne sont pas distingués, donc vous $\frac{10\cdot5!\cdot5!}{10}$ arrangements.