Sur la définition d'un système logique
Sur p261 au §1. Systèmes logiques dans XIII. Théorèmes de Lindstrom dans la logique mathématique d' Ebbinghaus ,
1.1 Définition. Un système logique$\mathcal{L}$ se compose d'une fonction $L$ et une relation binaire $\models_\mathcal{L}$. $L$ s'associe à chaque jeu de symboles $S$ un ensemble $L(S)$, l'ensemble des $S$-sentences de $\mathcal{L}$. (...)
$L(S)$ s'appelle "l'ensemble des $S$-sentences ". Cela signifie-t-il que $L(S)$ se compose uniquement de $S$-formules sans variables libres? Si oui, pourquoi les langages des systèmes logiques du premier et du second ordre$S$-formules avec des variables libres.
Tous les systèmes logiques ont-ils le même ensemble de structures, c'est-à-dire $\cup_S \{S\text{-structure}\}$?
Est-il plus juste de dire qu'un système logique $\mathcal{L}$ consiste en $L$, $\cup_S \{S\text{-structure}\}$, et $\models_\mathcal{L}$, même si $\cup_S \{S\text{-structure}\}$ est le même pour tous les systèmes logiques?
Est-ce possible pour deux systèmes logiques $\mathcal{L_1}$ et $\mathcal{L_2}$ avec $L_1 = L_2 $ mais $\models_\mathcal{L_1} \neq \models_\mathcal{L_2}$?
Merci.
Réponses
Ré: $(1)$, l'idée est que l'on ramène l'idée d'un système logique à un niveau très simple: sa capacité à découper des classes particulières de structures, à savoir celles de la forme $\{\mathcal{M}: \mathcal{M}\models\varphi\}$ pour $\varphi$une phrase dans le système. Alors que les logiques "naturelles" comme FOL ou SOL ont plus de structure que cela - par exemple elles ont aussi des notions de formules avec des variables libres - nous "oublions" cette structure dans l'approche ci-dessus; c'est supplémentaire mais inutile.
Cela dit, il s'avère que nous pouvons toujours parler de sous-ensembles définissables de structures en utilisant simplement des phrases (et donc toujours accomplir tout ce qui est normalement fait avec des formules avec des variables libres)! Plus précisément, nous pouvons penser à$S$- des formules comme des extensions de phrases de $S$ par un nombre infini de nouveaux symboles constants.
Cela nous permet de parler de sous-ensembles définissables de structures comme suit. En regardant FOL pour le concret, supposons$\mathcal{M}$ est un $S$-structure et $\varphi(x)$ est un $S$-formule avec variable libre $x$. Laisser$c$ être un symbole constant pas dans $S$ et considérez la phrase FOL $\hat{\varphi}$ obtenu en remplaçant chaque instance libre de $x$ dans $\varphi$ par $c$. Ensuite, le sous-ensemble de$\mathcal{M}$ Défini par $\varphi$, C'est $\varphi^\mathcal{M}$, est exactement l'ensemble de $a\in\mathcal{M}$ tel que l'expansion de $\mathcal{M}$ à $S\cup\{c\}$ obtenu en interprétant $c$ comme $a$ satisfait $\hat{\varphi}$.
Donc, cette approche "phrases seulement" ne perd pas vraiment la capacité de parler de variables libres, elle le rend juste un peu plus compliqué. Ce qui est perdu, c'est la structure de la syntaxe: par exemple, dans un sens précis, FOL a une syntaxe calculable, mais l'approche des systèmes logiques ci-dessus oublie cela. Pour cette raison, nous nous intéressons souvent à des notions plus riches de «système logique» (voir par exemple ici ); cela dit, cette notion très simple a de la valeur en ce qu'elle nous permet de prouver des résultats très généraux non triviaux.
Ré: $(2)$, Oui. Cela dit, nous pouvons considérer des "systèmes logiques généralisés" qui ont différentes notions de structure (par exemple, peut-être que nous voulons considérer des structures avec une topologie - voir par exemple ici , et plus généralement ce livre entier est assez intéressant).
Ré: $(3)$, puisque ces informations supplémentaires sont redondantes, votre expression n'est pas plus précise à moins que nous travaillions dans un contexte plus large. Cela dit, cela ne fait pas de mal de l'inclure, et par ce qui précède, nous voudrons parfois le faire.
Ré: $(4)$, certainement. Pour un exemple simple, étant donné un système logique$\mathcal{L}=(L,\models_\mathcal{L})$ considérez le système logique $$\mathcal{L}'=(L, \{\langle \mathcal{M},\varphi\rangle: \mathcal{M}\not\models_\mathcal{L}\varphi\}).$$ Cela annule juste tout dans $\mathcal{L}$. Bien entendu, les deux logiques sont équivalentes dans un sens approprié.
Un exemple plus naturel, qui est en fait important, est la logique du second ordre avec la sémantique standard vs la logique du second ordre avec la sémantique Henkin: elles ont la même syntaxe mais leurs relations de satisfaction sont extrêmement différentes (par exemple, cette dernière est l'ancien n'est pas).
Ebbinghaus / Flum / Thomas donne également un exemple pathologique plus tard, d'une sorte de FOL «tordu», qui a la même syntaxe que FOL et a la compacité et les propriétés de Lowenheim-Skolem vers le bas mais qui est incomparable avec FOL. Je ne me souviens pas de sa définition précise, cependant.