Sur une limite pour la norme résolvante

Question

Laisser $H$être un espace de Hilbert complexe, de dimension infinie et séparable. Correction de deux opérateurs différents de zéro$A,B \in B(H)$ tel que $B$ n'est pas un multiple scalaire de $A$. Il est bien connu que:

$$ \| R_A (z) \| \rightarrow 0 \quad \text{when}\, |z| \rightarrow +\infty $$

Cela découle facilement de:

$$\|R_A(z) \| \leq \frac{1}{|z| - \| A \|} \quad \forall z \in \mathbb{C} : |z| > \| A \|$$

Considérons maintenant l'opérateur $A+ cB$ où $c$ est un nombre réel positif et corrige un nombre complexe $z$. Pouvons-nous dire ça, pour tous$\epsilon >0$, il existe $M>0$ tel que:

$$ c > M \, \, \text{such that} \, \, z \not \in \sigma(A+cB) \Rightarrow \|R_{A+cB} (z)\| < \epsilon$$

Intuitivement , pour$c \rightarrow +\infty$, nous aurions:

$$ R_{A+cB}(z)=(z-A-cB)^{-1}= c^{-1}(z/c - A/c -B)^{-1} "\rightarrow" 0$$

car $|z/c| \rightarrow 0$, $\|A\| / c \rightarrow 0$, $1/c \rightarrow 0$ et $B$c'est réglé. Cependant, je n'ai connaissance d'aucune référence pour un résultat de ce genre. Quelqu'un a-t-il une référence ou une preuve de cela?

Answer 1

Comme Michael l'a déjà observé: il est simple de construire des contre-exemples si $B$ a un noyau non trivial $N(B)$ et $A$ Plans $N(B)$ en lui-même, puisque sur $N(B)$ la taille de $c$ ne joue aucun rôle.

Mais même si $B$ est un isomorphisme, même l'identité $B=I$, la conjecture est fausse: $z-A-cB=(z-c)-A$. Le maximum de la norme de l'inverse (sur tout$z$ de l'ensemble de résolvants correspondant) est clairement indépendant de $c$.

Quoi qu'il en soit, si $B$est un isomorphisme, il y a quelques estimations:

Il tient $(z-A-cB)^{-1}=B^{-1}((z-A)B^{-1}-c)^{-1}$, et on peut utiliser l'estimation résolvante mentionnée dans la question pour obtenir $$\|R_{A+cB}(z)\|\le\|B^{-1}\|\frac1{|c|-\|(z-A)B^{-1}\|}.$$ Cela donne une estimation si $|c|$ est grand par rapport à $|z|\|B^{-1}\|$.

Si $|z|$ est grand par rapport à $|c|\|B\|$, l'estimation de la question peut être utilisée.

Si tel n'est pas le cas, il n'est pas nécessaire d'avoir une bonne estimation comme mentionné ci-dessus$B=I$).