Surface de Riemann avec courbure négative

Question

Laisser $(M,g)$ être une surface de Riemann non compacte avec une courbure gaussienne $K<0$. Pouvons-nous montrer que la couverture universelle de$M$ doit être conforme au disque?

D'après le théorème d'uniformisation, nous savons que la couverture universelle doit être conforme soit au plan, soit au disque. Comment les distinguer par leur courbure?

Answer 1

Si $M$ n'est pas compact ou si vous autorisez $K\to 0$ il n'y a pas de raison.

Considérons une métrique conforme $e^{\varphi (z)} dz d \bar z$ sur $\bf C$. ensuite$K= -2 e^{-\varphi } {\partial ^2 \varphi \over \partial z \partial \bar z}$.

Prenons par exemple $\varphi (z)= z.\bar z = r^2$. ensuite$K=-4 e^{-r^2}<0$.