Théorème binomial vs probabilité d'une séquence

Question

Dans le livre de Daniel Kahneman "Thinking, Fast and Slow", il offre l'exemple suivant de la façon dont nos esprits identifient les modèles causaux par hasard.

Un hôpital a 6 bébés nés en un jour. Nous savons que les naissances masculines et féminines sont également probables et que les naissances sont indépendantes. Ces 3 séquences sont-elles également probables?

BBBGGG GGGGGG BGBBGB

Intuitivement, nous ne le pensons pas, cependant, puisque les événements sont indépendants, les 3 séquences ont une probabilité égale (il ne dit pas mais je suppose que c'est $0.5^6$).

Ma question est la suivante: comment cela se concilie-t-il avec le fait que la probabilité d'avoir 6 filles sur 6 naissances à partir de leur binôme est beaucoup moins probable que 3 filles (0,015625 vs 0,3125)? Si la question portait sur différentes séquences du même rapport de naissances G / B, elles auraient toutes les mêmes chances, mais je ne vois pas comment c'est vrai dans sa forme actuelle.

Answer 1

Ma question est la suivante: comment cela se concilie-t-il avec le fait que la probabilité d'avoir 6 filles sur 6 naissances à partir de leur binôme est beaucoup moins probable que 3 filles (0,015625 vs 0,3125)?

La probabilité de 3 filles est la probabilité de bbbggg, bbgbgg, bbggbg, bbgggb, bgbbgg, bgbgbg, bgbggb, gbbbgg, gbbgbg, gbbggb, bgggbb, bggbgb, bggbbg, gbggbb, gbgbgb, gbgbbg, ggbgbb, ggbbgb, ggbbbg et gggbbb. Chacun de ces 20 a une probabilité individuelle de 0,015625, et pour obtenir l'un d'entre eux, vous avez une probabilité de 0,3125.

Ces 3 séquences sont-elles également probables?

BBBGGG GGGGGG BGBBGB

Intuitivement, nous ne le pensons pas, cependant ...

Je peux voir deux raisons pour lesquelles nous rendons ces évaluations de GGGGGG et BGBBGB différentes:

Micro-états et macrostats

Il y a beaucoup plus de façons d'obtenir 3 filles que la séquence BGBBGB.

Pour obtenir cette séquence particulière, la séquence BGBBGB est aussi susceptible d'obtenir la séquence GGGGGGG. Mais lorsque vous comparez le nombre total de filles et de garçons, devez-vous vous soucier de l'ordre spécifique?

Souvent, on ne s'intéresse pas aux détails particuliers, mais plutôt aux chiffres globaux. Par exemple, on s'intéresse à la probabilité d'un nombre total particulier de garçons et de filles, et non dans un ordre spécifique.

Ces distinctions entre micro-états et macrostats se produisent très souvent en physique. Par exemple, si vous percez un pneu, il perdra très probablement de la pression et se videra. Cependant, au microscope, un état particulier de dégonflage pourrait être tout aussi probable qu'un état particulier de rester plein.

Probabilité inverse

Indirectement, lorsque nous «analysons» une séquence binaire particulière, nous ne regardons pas seulement la probabilité de cette séquence, mais plutôt la probabilité relative . C'est parce que souvent nous ne sommes pas directement intéressés par la probabilité de l'observation (pas en premier lieu et seulement indirectement) mais plutôt par ce que l'observation raconte sur les paramètres inconnus sous-jacents. Et les observations avec une probabilité égale (étant donné une hypothèse particulière) peuvent toujours raconter une histoire différente (car elles n'ont pas nécessairement la même probabilité pour les autres hypothèses). Il ne s'agit pas de la différence de probabilité pour différentes observations, mais de la différence de probabilité (ou du rapport de vraisemblance ) pour différentes valeurs de paramètres.

Si les paramètres de probabilité pour les garçons et les filles sont égaux $p_{boy}=p_{girl}=0.5$alors l'observation GGGGGG n'est ni moins ni plus improbable que l'observation BGBBGB. Cependant, l'observation GGGGGG ressort toujours comme une observation spéciale car elle est relativement plus probable lorsque$p_{girl}$est plus élevé. L'observation GGGGGG est plus probable lorsque$p_{girl}>p_{boy}$ que quand $p_{girl}=p_{boy}$, et par conséquent nous le distinguons comme un cas particulier.

Donc, à la fin, nous comparons / évaluons plus souvent ces séquences au moyen de rapports de vraisemblance.

Un exemple de probabilité pour le cas d'un échantillon ordonné de 5 est ci-dessous («thêta» est ici la probabilité pour un «b»). Vous pouvez voir que seul le nombre total est pertinent (et non l'ordre) pour la probabilité (cela concerne la suffisance ).

observation        probability of observing given theta

bbbbb              (1-theta)^0(theta)^5

rbbbb              (1-theta)^1(theta)^4
brbbb              (1-theta)^1(theta)^4
bbrbb              (1-theta)^1(theta)^4
bbbrb              (1-theta)^1(theta)^4
bbbbr              (1-theta)^1(theta)^4

rrbbb              (1-theta)^2(theta)^3
rbrbb              (1-theta)^2(theta)^3
rbbrb              (1-theta)^2(theta)^3
rbbbr              (1-theta)^2(theta)^3
brrbb              (1-theta)^2(theta)^3
brbrb              (1-theta)^2(theta)^3
brbbr              (1-theta)^2(theta)^3
bbrrb              (1-theta)^2(theta)^3
bbrbr              (1-theta)^2(theta)^3
bbbrr              (1-theta)^2(theta)^3

rrrbb              (1-theta)^3(theta)^2
rrbrb              (1-theta)^3(theta)^2
rbrrb              (1-theta)^3(theta)^2
brrrb              (1-theta)^3(theta)^2
rrbbr              (1-theta)^3(theta)^2
rbrbr              (1-theta)^3(theta)^2
brrbr              (1-theta)^3(theta)^2
rbbrr              (1-theta)^3(theta)^2
brbrr              (1-theta)^3(theta)^2
bbrrr              (1-theta)^3(theta)^2

brrrr              (1-theta)^4(theta)^1
rbrrr              (1-theta)^4(theta)^1
rrbrr              (1-theta)^4(theta)^1
rrrbr              (1-theta)^4(theta)^1
rrrrb              (1-theta)^4(theta)^1

rrrrr              (1-theta)^5(theta)^0