Théorème Cramer-Wold.

Question

Théorème (dispositif de Cramer-Wold): La distribution d'un $n$-vecteur $X$ est complètement déterminé par l'ensemble de toutes les distributions unidimensionnelles de combinaisons linéaires $t^TX$, où $t$ gammes sur tous les fixes $n$-vecteurs. Preuve $$$$ . $ Y: = t ^ TX $ a la fonction caractéristique: $$ \ phi_Y (s): = E [e ^ {isY}] = E [e ^ {ist ^ TX}] $$ Si nous connaissons la distribution de chaque $ Y $ , nous connaissons ses CF $ \ phi_Y (s) $ . En particulier, en prenant $ s = 1 $ , nous connaissons $ E [e ^ {ist ^ TX}] $ . Mais c'est le CF de $ X = (X_1, \ ldots, X_n) ^ T $ évalué à $ t = (t_1, \ ldots, t_n) ^ T $ . Mais cela détermine la distribution de $ X. $

Mes questions:

1. Si $ s = 1 $ alors la preuve perd-elle sa généralité? Pourquoi pas?
2. Mon interprétation de la preuve est que si la combinaison linéaire du vecteur et du vecteur a la même fonction caractéristique, alors leur distribution est la même. Cette interprétation est-elle correcte? 3) Que signifie «complètement déterminé» dans le théorème?

Answer 1

• Je ne comprends pas ce que vous entendez par «perdre la généralité» dans votre première question. La seule «généralité» de la preuve qui me semble avoir une importance est qu'elle doit fonctionner pour tout$\ n$-vector et pour tout $\ n\ $, ce qu'il fait. En mettant$\ s=1\ $ n'est qu'une étape dans la preuve, une étape que vous pouvez légitimement franchir quelles que soient les valeurs de $\ n\ $ et $\ X\ $ sont, donc il ne leur impose aucune restriction.

• Un vecteur n'est pas la même chose qu'une combinaison linéaire de ses entrées (sauf si le vecteur, $\ X\ $ est $1$-dimensionnelle et la combinaison linéaire est $\ 1\cdot X\ $), qui doit être un scalaire. Ainsi, ni la distribution ni la fonction caractéristique d'un vecteur aléatoire ne peuvent être les mêmes que celles d'une combinaison linéaire des entrées de ce vecteur aléatoire. La distribution d'un aléatoire$\ n$-vecteur ainsi que sa fonction caractéristique seront des fonctions de $\ n\ $variables, tandis que la distribution et la fonction caractéristique de toute combinaison linéaire particulière des entrées du vecteur aléatoire seront des fonctions d'une seule variable.

  Le point clé du dispositif Cramer-Wold est que vous devez connaître la distribution unidimensionnelle non seulement d'une combinaison linéaire particulière des entrées du vecteur aléatoire, mais de chacune de ces combinaisons linéaires, ce qui vous permet de déduire l'aléatoire. distribution vectorielle, fonction de nombreuses variables, à partir de cette famille infinie de fonctions d'une seule variable.