Théorème de décomposition spectrale

Question

Je passe en revue le théorème de décomposition spectrale. Si$Y$ est une matrice symétrique, alors $Y$ peut être décomposé en $Y=Q\Lambda Q'$, où les colonnes de $Q$ sont les vecteurs propres de $Y$ et $\Lambda$ est une matrice diagonale dont la diagonale est composée des valeurs propres de $Y$.

D'après une partie de ce théorème, on peut conclure que $Q$est une matrice orthogonale? Je sais que les vecteurs propres de$Y$ sont orthogonales, on peut donc en conclure que la matrice $Q$ est orthogonal?

Answer 1

Vous devez prendre les vecteurs propres avec la norme égale à un, vous constaterez que $QQ^{\top}=\large𝟙$.

Answer 2

Dans ton expression, $Y=Q\Lambda Q'$ et des rangées de $Q$ sont les vecteurs propres de $Y$.

Dans ce, $Y=Q'\Lambda Q$ et colonnes de $Q$ sont les vecteurs propres de $Y$.

On sait que dans une matrice symétrique, les vecteurs propres correspondant à des valeurs propres distinctes sont toujours orthogonaux. Si$\bf x$ et $\bf y$ sont des vecteurs propres correspondant à différentes valeurs propres $\lambda$ et $\alpha$ respectivement, alors $$\langle Y{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},Y{\bf y}\rangle\implies\langle\lambda{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},\alpha{\bf y}\rangle\implies(\lambda-\alpha)\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0\implies\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0$$ depuis $\lambda-\alpha\neq 0$.

Trouvez maintenant une base orthonormée pour chaque espace propre qui constitue l'ensemble de tous les vecteurs propres de $Y$ un ensemble orthonormé $\mathbb{R}^n$ (car différents espaces propres sont orthogonaux entre eux).