Théorème de Munkres van Kampen
Réponses
Cela me semble correct. Dans la dernière étape, vous utilisez cela$i_1(N) \subset M$qui est l’information cruciale dans ce problème. L'idée, moins précisément, est d'utiliser$$ \pi_1(V, x_0) \cong \pi_1(U \cap V, x_0)/N \xrightarrow{i_1} \pi_1(U, x_0)/M = H $$ où la deuxième carte est induite par $i_1 : \pi_1(U \cap V, x_0) \to \pi_1(U, x_0)$ et existe parce que $i_1(N) \subset M$.
C'est la bonne solution mais je mentionnerai que j'aime y penser un peu différemment. Le théorème de Van Kapen identifie$\pi_1(X, x_0)$ avec le produit gratuit fusionné $G_1 *_H G_2$ où $G_1 = \pi_1(U, x_0)$ et $G_2 = \pi_1(V, x_0)$ et $H = \pi_1(U \cap V, x_0)$ (c'est exactement la colimite du diagramme que vous avez noté dans la catégorie des groupes).
Supposons maintenant $H \to G_2$ est bien surjectif il devrait être "clair" que $G_1 *_H G_2 = G_1 / \left< \ker{(H \to G_2)} \right> $ où $\left< \ker{(H \to G_2)}\right>$ est le sous-groupe normal de $G_1$ généré par l'image dans $G_1$ du noyau de $H \to G_1$. Pourquoi est-ce? Eh bien si tout dans$G_2$ est à l'image de $H \to G_2$ alors il peut être "fusionné" en $G_1$ et de plus, la fusion tue tout $G_1$ qui vient de quelque chose dans $H$ mappage à zéro sous $H \to G_2$. Si vous êtes familier avec la théorie des catégories, vous devriez être en mesure de montrer que lorsque$H \to G_2$ est alors surjectif $H \to G_1 \to G_1 *_H G_2$ fait du $G_1 *_H G_2$ le cokernel de $H \to G_1$ donnant exactement ce que vous voulez.